COURS 7
Géométrie élémentaire de l’espace
La fonction dotP calcule le produit scalaire de deux vecteurs
représentés en ligneouencolonne.
On peut développer grâce la bilinéarité du produits calaire et
utiliser le fait que la base est orthonormale, c’est-à-dire que le
produit scalaire de deux vecteurs de base distincts est nul, tandis
que le produit scalaire d’un vecteur de base par lui-même estégal
à1.Onobtient :
u · v = xx
+ yy
+ zz
On en déduit l’expression de la norme d’un vecteur :
u =
√
u · u =
x 2 + y 2 + z 2
On obtient également la distance de deux points de l’espace, en fonction de leurs
coordonnées dans un repère orthonormal :
AB =
−→
AB =
(x B − x A ) 2 +(y B −y A ) 2 +(z B −z A ) 2
3 Produit vectoriel
3.1 • Définition
k
!
v
!
u
!
P
uv
!!
Doc. 7 Produitvectoriel.
L’espace étant orienté, soit u,, vdeux vecteurs. Soit P un plan contenant u et
v. Orientons le plan P en choisissant un vecteur normal unitaire k (Doc. 7).
Ceci permet de définir le déterminant Det( u,, v).
On appelle produitvectoriel de u et v le vecteur :
u ∧ v = Det( u,, v) k
Remarque :Cette définition dépend de l’orientation choisie dans l’espace. Si on avait
choisi l’orientationc ontraire, on aurait obtenu un produit vectoriel opposé pour les
mêmes vecteurs ue t v .
En revanche, le résultat ne dépendp as de l’orientationc hoisied ans le planP ,car
en choisissantl’orientation contraire, Det( u,, v) et ks ont tous deux changés en leur
opposé.
v
!
u
!
uv
!!
Doc. 8 Normeduproduit vectoriel.
La norme du produit vectoriel de u et v est donnée par :
u ∧ v = |Det( u,, v)| = u v |sin( u,, v)|
C’est l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v (Doc. 8).
Il en résulteque u ∧ v = 0s ietseulement si u et v sont colinéaires.
3.2 • Antisymétrie
Le déterminant de deuxvecteurs est antisymétrique :
Det( v,, u) = −Det( u,, v). Par conséquent :
v ∧ u = − u ∧ v
On dit que le produit vectoriel est antisymétrique.
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