COURS 7
Géométrie élémentaire de l’espace
• ϕ unemesure de l’angle orienté ( i,
−−→
OH )( si M appartient à( Oz), ϕ peut
être quelconque) ; ϕ est appelée longitude de M .
On dit que (r, θ, ϕ)e st un triplet de coordonnées sphériques du point M . On
a:
−−→
OH = r sin θ u(ϕ);
−−→
HM = r cos θ k
d’où :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
Remarque :Onp rivilégiera l’emploi de coordonnées sphériques dans tout problème
où un point centralj oue un rôle remarquable, par exemple en navigation maritime
ou aérienne, ou en astronomie. Dans cesa pplications, on préfère souvent utiliser la
latitude λ =
π
2
− θ.
Pour s’entraîner:ex. 2. et exercice résolu
2 Produitscalaire
2.1 • Définition
Soit u et v deux vecteurs de l’espace. Ils appartiennent nécessairement àu n
même plan P. On appelle produit scalaire de u et v leur produit scalaire dans
le plan P, c’est-à-dire le réel:
u· v= u v cos( u,, v)
On remarque que cette définition ne nécessite pas de choisir une orientation du
plan P, ni même de l’espace tout entier.
Comme en géométrie plane, on montre que le produit scalaire de l’espace estune
application bilinéaire symétrique.
APPLICATION 1
Linéaritéd’une application ;approfondissement
Revenons surlanotion d’application linéaire, évoquée
dans l’Application 2d uc hapitre4:Géométrie Élémentaire du Plan.S oit E l’ensemble des vecteurs de
l’espace. On dit qu’une application f de E dans E
(ou dans l’ensemble des vecteurs d’un plan, ou dans
R)e st linéaire si pour tous vecteurs u,, vde E et
tous réels α et β :
f (α u + β v) = α f ( u)+βf( v)
Soit b = ( i, j, k)u ne base de E ;m ontrons que l’application f est linéaire si et seulement si pourt out
triplet (x, y, z) ∈ R
3
:
f (x i + y j + z k) = xf( i)+yf( j)+zf( k) (1)
• Si f estl inéaire, elle vérifie par définition l’égalité (1).
• Si f vérifie l’égalité (1),a lors pour tous vecteurs
u = x i + y j + z k,, v = x
i + y
j + z
kde E et
128