Géométrie élémentaire de l’espace
COURS
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ou uneo rientation contraire s’il s’agit d’un antidéplacement. Il yadonc deux
classesderepères orthonormaux.
Orienter l’espace, c’est choisir l’une des classes, dont les éléments seront appelés
repèresorthonormaux directs,les autres étant dits rétrogrades.
i
!
k
!
j
!
Doc. 3 Sens direct.
Il n’existe aucun critère mathématique pour privilégier une orientation plutôt
qu’une autre ;cechoix ne peut être qu’arbitraire. En général, on convient de dire
que le repère (O,, i, j, k)e st direct si lorsqu’on tourne de i vers j, on progresse
dans le sens de k en vissant (Doc. 3) (pensez àuntournevis, un tire-bouchon ou
un robinet que l’on ferme). Ces conventions sont souvent utilisées en physique
(électromagnétisme)etenchimie (molécules chirales).
k
!
P
D
Doc. 4 Orientationd’un plan et de sa
normale.
Il est important de remarquer quel ’orientation de l’espace n’induit pas d’orientation particulièred ’un plan de cet espace. Pour orienter un plan P, il suffit
d’orienter une droite D orthogonale à P, en choisissantunvecteur k unitaire
de D (il yadeux possibilités) ;u ne base orthonormale ( i, j)d ePsera dite
directe si la base ( i, j, k)e st directe dans l’espace. On dit alors qu’on aorienté le
plan P par le vecteur normal k (Doc. 4).
1.3 • Coordonnéescylindriques
M
H
k
!
j
!
i
!
z
u() θ
!
θ
Doc. 5 Coordonnéescylindriques.
L’espace étant orienté, soit R = (O,, i, j, k)u nrepère orthonormal direct (Doc. 5).
On oriente le plan (xOy)p ar le vecteurn ormal k. Pourt out point M de
l’espace,decoordonnées (x, y, z), on peut représenterencoordonnées polaires le
projetéo rthogonal H de M sur le plan (xOy):
−−→
OH = r u(θ), où u(θ) =
cos θ i +sin θ j, d’où: −−→
OM =
−−→
OH + z k = r u(θ)+z k
On dit que (r, θ, z)e st un triplet de coordonnées cylindriques du point M .
Remarque :Comme les coordonnées polaires dans le plan, lescoordonnées cylindriques
d’un point de l’espace ne sont pas uniques.
On privilégiera l’emploi de coordonnées cylindriques dans tout problème où une droite
particulièrej oue un rôle remarquable (par exemple en physique, étude du champ
électrique créé par un fil rectiligne uniformément chargé).
On peut facilement exprimer les coordonnées cartésiennesd’un point en fonction
de coordonnées cylindriques : ⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
1.4 • Coordonnéessphériques
y
O
M
H
r
x
z
Doc. 6 Coordonnéessphériques.
L’espace étant orienté, soit R = (O,, i, j, k)u nr epère orthonormal direct. On
oriente le plan (xOy)p ar le vecteurnormal k. Pourtout point M de l’espace,
on considère le point H , projeté orthogonalde M sur le plan (xOy)( Doc. 6).
Soit :
• r la distance OM : r =
−−→
OM ;
• θ unem esure dans [0, π]d el ’angle ( k,
−−→
OM )( on notera que cet angle
n’est pas orienté, car on n’a pas défini d’orientation du plan (zOM )) ;
θ est appelée colatitude de M ;
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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ou uneo rientation contraire s’il s’agit d’un antidéplacement. Il yadonc deux
classesderepères orthonormaux.
Orienter l’espace, c’est choisir l’une des classes, dont les éléments seront appelés
repèresorthonormaux directs,les autres étant dits rétrogrades.
i
!
k
!
j
!
Doc. 3 Sens direct.
Il n’existe aucun critère mathématique pour privilégier une orientation plutôt
qu’une autre ;cechoix ne peut être qu’arbitraire. En général, on convient de dire
que le repère (O,, i, j, k)e st direct si lorsqu’on tourne de i vers j, on progresse
dans le sens de k en vissant (Doc. 3) (pensez àuntournevis, un tire-bouchon ou
un robinet que l’on ferme). Ces conventions sont souvent utilisées en physique
(électromagnétisme)etenchimie (molécules chirales).
k
!
P
D
Doc. 4 Orientationd’un plan et de sa
normale.
Il est important de remarquer quel ’orientation de l’espace n’induit pas d’orientation particulièred ’un plan de cet espace. Pour orienter un plan P, il suffit
d’orienter une droite D orthogonale à P, en choisissantunvecteur k unitaire
de D (il yadeux possibilités) ;u ne base orthonormale ( i, j)d ePsera dite
directe si la base ( i, j, k)e st directe dans l’espace. On dit alors qu’on aorienté le
plan P par le vecteur normal k (Doc. 4).
1.3 • Coordonnéescylindriques
M
H
k
!
j
!
i
!
z
u() θ
!
θ
Doc. 5 Coordonnéescylindriques.
L’espace étant orienté, soit R = (O,, i, j, k)u nrepère orthonormal direct (Doc. 5).
On oriente le plan (xOy)p ar le vecteurn ormal k. Pourt out point M de
l’espace,decoordonnées (x, y, z), on peut représenterencoordonnées polaires le
projetéo rthogonal H de M sur le plan (xOy):
−−→
OH = r u(θ), où u(θ) =
cos θ i +sin θ j, d’où: −−→
OM =
−−→
OH + z k = r u(θ)+z k
On dit que (r, θ, z)e st un triplet de coordonnées cylindriques du point M .
Remarque :Comme les coordonnées polaires dans le plan, lescoordonnées cylindriques
d’un point de l’espace ne sont pas uniques.
On privilégiera l’emploi de coordonnées cylindriques dans tout problème où une droite
particulièrej oue un rôle remarquable (par exemple en physique, étude du champ
électrique créé par un fil rectiligne uniformément chargé).
On peut facilement exprimer les coordonnées cartésiennesd’un point en fonction
de coordonnées cylindriques : ⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
1.4 • Coordonnéessphériques
y
O
M
H
r
x
z
Doc. 6 Coordonnéessphériques.
L’espace étant orienté, soit R = (O,, i, j, k)u nr epère orthonormal direct. On
oriente le plan (xOy)p ar le vecteurnormal k. Pourtout point M de l’espace,
on considère le point H , projeté orthogonalde M sur le plan (xOy)( Doc. 6).
Soit :
• r la distance OM : r =
−−→
OM ;
• θ unem esure dans [0, π]d el ’angle ( k,
−−→
OM )( on notera que cet angle
n’est pas orienté, car on n’a pas défini d’orientation du plan (zOM )) ;
θ est appelée colatitude de M ;
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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