COURS 7
Géométrie élémentaire de l’espace
1 Modesderepérage dans l’espace
1.1 • Repère cartésien
i
u
y
x
z
u 2
u 1
u 3
j
k
!
!
!
!
!
!
!
Doc. 1 Coordonnées dans l’espace.
Un repère cartésien de l’espace estl ad onnée d’un point O appelé origine du
repère et de troisvecteurs non coplanaires i, j et k, appelés vecteurs de base.
On note le repère (O,, i, j, k)( Doc. 1).
Les droites passantpar O de vecteurs directeurs respectifs i, j et k sont appelées
axes du repère,etnotées (Ox), (Oy), (Oz).
Étant donné un vecteur u quelconque de l’espace, soit u 1 le projeté de u sur
(Ox)p arallèlement au plan (yOz),, u 2 le projeté de u sur (Oy)p arallèlementà (zOx)e t u 3 le projeté de u sur (Oz)p arallèlement à( xOy). On a:
u= u 1 + u 2 + u 3 . Comme u 1 ,, u 2 ,, u 3 sont respectivement colinéaires à i, j
et k, il existe des réels x, y, z tels que :
u = x i + y j + z k
Le triplet (x, y, z)e st unique ;eneffet, supposons que :
u = x i + y j + z k = x
i + y
j + z
k
alors :( z− z
) k=( x
− x ) i+(y
−y) j ;c omme k n’estpas dans le plan (xOy),
cette égalitéentraîne : z − z
= 0e t( x
−x ) i+(y
−y) j =0, d’où par unicité
des coordonnées dans le plan : x
− x = 0e ty
−y=0 .
Les réels x, y et z sont appelés coordonnées de u dans la base ( i, j, k).
Étantdonné un point M quelconque de l’espace,onappelle coordonnées de M
dans le repère (O,, i, j, k)l es coordonnées du vecteur
−−→
OM dans la base ( i, j, k):
−−→
OM = x i + y j + z k
Remarque :Comme en géométrie plane, lescalculs peuvent être grandement facilités
par le choixj udicieux d’un repère. Par exemple, dans un problème portant sur un
tétraèdre (ABCD), on pourra choisirlerepère (A,
−→
AB,
−→
AC ,
−→
AD).
1.2 • Repère orthonormal. Orientation
O
i
!
k
!
j
!
y
x
z
Doc. 2 Repère orthonormal.
Si les vecteurs de base du repère sont unitaires et orthogonaux,l er epère estd it
orthonormal (Doc. 2) :
i = j = k = 1; i · j = j · k = k · i = 0
Remarque :Nous verrons plus loin que les coordonnées dans un repère orthonormal
permettent une expressionparticulièrement simple du produit scalaire de deux vecteurs
et de la norme d’un vecteur. En conséquence, on emploiera de préférence ce type de
repère dans toutes les questions faisantintervenir des distances et des angles.
Nous admettrons que deux repères orthonormaux sont toujours image l’un de
l’autre par un déplacement de l’espace (composée de translations et de rotations),
ou par un antidéplacement (composée d’une symétrie plane et d’un déplacement).
On dit que les deux repèresont la même orientation s’il s’agit d’un déplacement,
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Géométrie élémentaire de l’espace
1 Modesderepérage dans l’espace
1.1 • Repère cartésien
i
u
y
x
z
u 2
u 1
u 3
j
k
!
!
!
!
!
!
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Doc. 1 Coordonnées dans l’espace.
Un repère cartésien de l’espace estl ad onnée d’un point O appelé origine du
repère et de troisvecteurs non coplanaires i, j et k, appelés vecteurs de base.
On note le repère (O,, i, j, k)( Doc. 1).
Les droites passantpar O de vecteurs directeurs respectifs i, j et k sont appelées
axes du repère,etnotées (Ox), (Oy), (Oz).
Étant donné un vecteur u quelconque de l’espace, soit u 1 le projeté de u sur
(Ox)p arallèlement au plan (yOz),, u 2 le projeté de u sur (Oy)p arallèlementà (zOx)e t u 3 le projeté de u sur (Oz)p arallèlement à( xOy). On a:
u= u 1 + u 2 + u 3 . Comme u 1 ,, u 2 ,, u 3 sont respectivement colinéaires à i, j
et k, il existe des réels x, y, z tels que :
u = x i + y j + z k
Le triplet (x, y, z)e st unique ;eneffet, supposons que :
u = x i + y j + z k = x
i + y
j + z
k
alors :( z− z
) k=( x
− x ) i+(y
−y) j ;c omme k n’estpas dans le plan (xOy),
cette égalitéentraîne : z − z
= 0e t( x
−x ) i+(y
−y) j =0, d’où par unicité
des coordonnées dans le plan : x
− x = 0e ty
−y=0 .
Les réels x, y et z sont appelés coordonnées de u dans la base ( i, j, k).
Étantdonné un point M quelconque de l’espace,onappelle coordonnées de M
dans le repère (O,, i, j, k)l es coordonnées du vecteur
−−→
OM dans la base ( i, j, k):
−−→
OM = x i + y j + z k
Remarque :Comme en géométrie plane, lescalculs peuvent être grandement facilités
par le choixj udicieux d’un repère. Par exemple, dans un problème portant sur un
tétraèdre (ABCD), on pourra choisirlerepère (A,
−→
AB,
−→
AC ,
−→
AD).
1.2 • Repère orthonormal. Orientation
O
i
!
k
!
j
!
y
x
z
Doc. 2 Repère orthonormal.
Si les vecteurs de base du repère sont unitaires et orthogonaux,l er epère estd it
orthonormal (Doc. 2) :
i = j = k = 1; i · j = j · k = k · i = 0
Remarque :Nous verrons plus loin que les coordonnées dans un repère orthonormal
permettent une expressionparticulièrement simple du produit scalaire de deux vecteurs
et de la norme d’un vecteur. En conséquence, on emploiera de préférence ce type de
repère dans toutes les questions faisantintervenir des distances et des angles.
Nous admettrons que deux repères orthonormaux sont toujours image l’un de
l’autre par un déplacement de l’espace (composée de translations et de rotations),
ou par un antidéplacement (composée d’une symétrie plane et d’un déplacement).
On dit que les deux repèresont la même orientation s’il s’agit d’un déplacement,
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