Coniques
Conseils
Solution
Voira uc hapitre 4, §4 .5, le calcul de la
distance d’un point àune droite.
1) Soit M (x, y)u npoint quelconque du plan. La distance de M à( OA)
est |y| ;l adistance de M à( OB)e st |x| ;l adistance de M àladroite
(AB), d’équation cartésienne x + y = 1, est :
|x + y − 1|
√ 2
. Uneéquation
cartésienne de E est donc :
x
2
+ y
2
+
(x + y − 1)
2
2
=
1
3
ce qui équivaut à:
2x
2
+2y
2
+x
2
+2xy + y
2
− 2x − 2y +1=
2
3
3x
2
+2xy +3y
2
−2x−2y=−
1
3
On reconnaît l’équation d’une conique.
Le discriminant est Δ = 4(1 − 9) = −32 ;i lest strictement négatif : E
est une ellipse.
Les termes du second degré font apparaître un symétrie entre x et y.
Effectuons un changement de repère par rotation d’angle θ =
π
4
:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x =
√ 2
2
X −
√
2
2
Y
y =
√ 2
2
X +
√ 2
2
Y
L’équation de E devient:
4X
2
+2Y
2
−2
√ 2X =−
1
3
soit, en regroupantles termes en X sous la formecanonique :
4
X −
√ 2
4
2
−
1
2
+2Y
2
=−
1
3
Reconnaître une équation de la forme
X
2
a 2 +
Y
2
b 2 = 1.
24
X −
√ 2
4
2
+1 2Y
2
=1
E est une ellipse de centre Ω, de coordonnées (X Ω , Y Ω ) =
√
2
4
, 0
dans le nouveau repère, c’est-à-dire (x Ω , y Ω ) =
1
4
,
1
4
dans l’ancien
repère. Son demi-grand axe (sur OY )v aut a =
√ 12
12
=
√ 3
6
, son demipetit axe (sur OX )v aut b =
√
24
24
=
√ 6
12
. Sa demi-distance focale est
c =
a 2 − b 2 =
√ 6
12
;s on excentricité est e =
c
a
=
√ 2
2
.
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