Coniques
............................................................................................................ MÉTHODE
La coniqued ef oyer F , de directrice D, d’excentricité e est l’ensemble des points M du plan tels que
MF
d(M , D)
= e.
Équation cartésienne dans un repère d’origine F : x
2
+ y
2
= (ex + p)
2
Équation polaire: ρ=
p
1−ecos θ
e = 1. Parabole ;équation réduite : y
2
= 2px
paramétrage :
⎧
⎨
⎩
x(t) =
t
2
2p
y(t) = t
e < 1. Ellipse ;équation réduite :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
c = ea, a
2
= b
2
+ c
2
.
paramétrage :
x(t) = a cos t
y(t) = b sin t
e > 1. Hyperbole ;équation réduite :
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = 1
c = ea, c
2
= a
2
+ b
2
. Asymptotes y = ±
b
a
x.
paramétrage (demi-hyperbole) :
x(t) = a ch t
y(t) = b sh t
Pour réduire l’équation générale d’une conique :
• supprimer les termesen xy grâce àunchangement de repère par rotation ;
• supprimer si possible les termes du premier degré grâce àunchangement de repère par translation.
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Exercice résolu
UN ENSEMBLEDEPOINTS
Le plan est rapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j). On considère lespoints A(1, 0), B(0, 1). SoitEl’ensembledes
points dont la somme des carrés des distancesaux trois côtés du triangle (OAB) est égale à
1
3
.
1 Montrer que Ee st une ellipse dont on déterminera les éléments caractéristiques.
2 Montrer que Ee st tangente aux droites (OA) et (OB).
3 Trouver unereprésentation paramétrique de Ed ans le repèreinitial.
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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