COURS 6
Coniques
L’équationd el ’ensemble E dans le repère R
est
donc :
(x
− y
)
2
− (x
− y
)(x
+ y
)+(x
+y
)
2
=1
ce qui équivaut à:
x
2
+3y
2
=1
On reconnaît l’équation d’une ellipse de demi-grand
axe a = 1, de demi-petit axe b =
√
3
3
, dans le
repère R
.
Pourtracer E (Doc. 15), on peut placer les sommets
A, A
, B, B
de l’ellipsed ans le repère R
, et utiliser quelques points remarquables dans le repère R :
(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1).
−1
0
1
−11
A
A 0
B
B 0
x
y
x 0
y 0
Doc. 15
6.2 • Avec destermes du premier degré
Soit maintenant E l’ensembledéfini par l’équation cartésienne :
ax
2
+bxy+cy
2
+dx+ey+f =0
La méthode précédente conduit àune équation de la forme :
AX
2
+ CY
2
+ DX + EY + f = 0
Si A = 0, on peut écrire : AX
2
+ DX = A
X +
D
2A
2
−
D
2
4A
.
Si C = 0, on peut écrire : CY
2
+ EY = C
Y +
E
2C
2
−
E
2
4C
.
Ainsi, si AC = 0( c’est-à-dire Δ
= 0), on peutp oser : X
= X +
D
2A
,
Y
= Y +
E
2C
(ce qui revient àfaire un nouveau changement de repère par
translation).Onaboutit à:
AX
2
+ CY
2
= F
Si F = 0,on obtient alors les mêmes résultats que précédemment. Seul change le
centre de l’ellipse ou de l’hyperbole.Si F =0, E est la réunion de deux droites
ou un singleton,oul’ensemble vide.
Si AC = 0( c’est-à-dire Δ = 0) :
• Si A = 0, l’équation de E devient: CY
2
+ DX = F :
–s iD = 0:Eest soit vide, soit la réunion de deux droites parallèles.
–s iD = 0 ,l’équation devient CY
2
+ DX
= 0, où X
= X −
F
D
: E est
uneparabole, d’axe parallèle à( OX ).
• Si C = 0, l’équation de E devient : AX
2
+ EY = F :
–s iE= 0:Eest soit vide, soit la réunion de deux droites parallèles.
–s iE = 0 ,l’équation devient AX
2
+ EY
= 0, où Y
= Y −
F
E
:
E est une parabole, d’axe parallèle à( OY ).
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