Coniques
COURS
6
soit en particulier : B = (c − a)sin 2θ + b cos2θ
On peut toujours trouver θ pour que B = 0:
–si a=c, θ=
π
4
+k
π
2
;
–si a =c, θ=
1
2
Arctan
b
a − c
.
Dans ce cas, l’équation de E devient : AX
2
+ CY
2
= 1.
• Si A ou C est nul, E est soit vide, soit la réunion de deux droites
parallèles.
• Si A et C sont strictement négatifs, E estvide.
• Si A et C sont strictement positifs, E est une ellipse (si A = C , il s’agit
d’un cercle).
• Si A et C sont non nuls et de signe contraire, E est une hyperbole.
La nature de E pouvait-elleêtre prévue au départ ?
Remarquons que les coefficients A, B, C vérifient :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
A + C = a + c
A − C = (a − c)cos 2θ + b sin 2θ
B = −(a − c)sin 2θ + b cos2θ
d’où l’on tire :
B
2
+(A−C)
2
−(A+C)
2
=b
2
+(a−c)
2
−(a+c)
2
c’est-à-dire :
B
2
− 4AC = b
2
− 4ac
REMARQUE
Δ peuta ussi s’écrire comme un déterminant :
Δ =
b 2c
2ab
Le discriminant Δ = b
2
− 4ac estinvariant dans le changement de repère.
Lorsqu’on ac hoisi B = 0, Δ = −4AC . On en conclutq ue la nature de E
dépend du signe de Δ :
• Si Δ = 0, E estsoit vide, soit la réunion de deux droites parallèles.
• Si Δ < 0, E est soit vide, soit une ellipse (éventuellement un cercle).
• Si Δ > 0, E est une hyperbole.
APPLICATION 3
Exemplederéduction de l’équation d’une conique
Le plan estr apporté àu nr epère orthonormal (O,, i, j).
Soit El ’ensemble des points de coordonnées (x, y) tels
que :x
2
− xy + y
2
= 1. Reconnaître l’ensemble Eg râce
àunchangement de repère. Tracer E.
Considérons le repère R
= (O,, i
, j
), défini par :
i
= i + j et j
= − i + j. Pour tout point M
du pland ec oordonnées (x, y)d ans le repère R et
(x
, y
)d ans le repère R
, on peut écrire :
x i + y j = x
( i + j)+y
(− i+ j)
x i+y j=(x
−y
) i+(x
+y
) j
D’où, d’après l’unicité des coordonnées d’un point :
x = x
− y
y = x
+ y
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
119