COURS 6
Coniques
e = 2
e = 3
e = 1
e = 3
e = 2
D
e =
3
2
e =
3
2
e = 5
6
e =
2
3
e =
1
2
e =
1
3
e =
1
6
F
Doc. 14 Coniques de directrices D et de foyer F .
6 Réduction de l’équationcartésienne
d’une conique
6.1 • Sans termes du premierdegré
Le plan étantrapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j), considérons l’ensemble
de points E défini par l’équation cartésienne :
ax
2
+bxy+cy
2
=1
Effectuons un changement de repère par rotation :
I = cos θ i +sin θ j
J = − sin θ i +cos θ j
De l’égalité
−−→
OM = x i + y j = X I + Y J , on déduit :
x = X cos θ − Y sin θ
y = X sin θ + Y cos θ
L’équation de E devient :
a(X cos θ − Y sin θ)
2
+ b(X cos θ − Y sin θ)(X sin θ + Y cos θ)
+ c(X sin θ + Y cos θ)
2
= 1
En développant cette expression, on obtient AX
2
+ BXY + CY
2
= 1, où :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
A = a cos
2 θ + b cos θ sin θ + c sin
2 θ
B = −2a sin θ cos θ + b cos
2 θ − b sin
2 θ +2csin θ cos θ
C = a sin
2 θ − b cos θ sin θ + c cos
2 θ
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