Coniques
COURS
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comme M 0 appartient à H ,
x
2
0
a 2 −
y
2
0
b 2 = 1; l’équation de la tangente est donc :
xx 0
a 2 −
yy 0
b 2 = 1
Il en est de même pour la tangente àl’autre branche, symétrique de H parrapport
àl’axe Oy.
On retrouve toujours le principede«dédoublement ».
APPLICATION 2
Propriétégéométrique de la tangente àl’hyperbole
Supposonsl ’hyperbole paramétrée (Doc. 13), et
dérivons la relation :
−→
FM 2 −
−−→
F
M 2 = 2 ε a
( ε = ± 1s uivant la branche de l’hyperbole sur
laquelle est situé le point M ):
−→
FM ·
−→
d M
d t
−→
FM
−
−−→
F
M ·
−→
d M
d t
−−→
F
M
= 0
Posons u =
−→
FM
−→
FM
et
u =
−−→
F
M
−−→
F
M
(ce sont des vecteurs unitaires des droites (FM )
et (F
M )). La tangente en M àl ’hyperbole est
orthogonale à u −
u :c’est la bissectrice intérieure de
l’angle
FMF .
F
→
u
→
u
F
O
M
→
u
→
u
Doc. 13 Tangente àl’hyperbole.
Pours’entraîner :ex. 6, 7
5 Retour au cas général
Pour obtenir les équations réduites des différentes coniques, nous avons étéamenés
àe ffectuer un changement de repère dépendant de la valeur de l’excentricité
e. Représentons maintenant toutes les coniques trouvées dans le repère initial
(Doc. 14).Onvoit qu’une parabole peut être considérée comme le cas limite d’une
ellipse ou d’une hyperbole dont le deuxième foyer serait rejeté àl’infini.
Pour s’entraîner:ex. 3, 4
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