COURS 6
Coniques
On peutmontrer par ailleurs que les asymptotes coupent les directrices en quatre
points U , U
, V , V
appartenantaucercle de centre O de rayon a (appelé
cercle principal).
4.2 • Paramétrage de l’hyperbole
On peut s’inspirer du paramétrage de l’ellipse en remplaçant lesf onctions
circulaires par les fonctions hyperboliques :
X (t) = ±a ch t
Y (t) = b sh t
4.3 • Définition bifocale de l’hyperbole
D
0
H
0
F
0
D
H
F
O
M
Doc. 12 Propriétébifocale de
l’hyperbole.
Projetonsu np oint M de l’hyperbole orthogonalement sur chacune des
directrices D et D
en H et H
(Doc. 12). Du fait de la définition d’une
conique,
MF
MH
=
MF
MH = e ;d ’où |MF − MF
| = e|MH + MH
|
Comme M estàl’extérieur du segment [HH
], |MH − MH
| = HH
=
2a
e
.
D’où :
∀M ∈C |MF − MF
| = 2a
Nousa dmettrons que réciproquement, tout point vérifiant cette relation
appartient àl’hyperbole C (on peut le vérifier analytiquement).
Une hyperbole est donc l’ensemble des points dont la différence des distances àdeux
points fixesest constante. On retrouve ce principe dans les figures d’interférence
de deux ondes (fentes de Young). Il estu tilisé dans certains procédés de radionavigation.
4.4 • Tangente àl’hyperbole
Soit H la demi-hyperbole définiep aramétriquement par :
x(t) = a ch t
y(t) = b sh t
;
considérons le point M 0 de H de coordonnées x 0 = a ch t 0 , y 0 = b sh t 0 . la
tangente à H au point M 0 est la droite passant par M 0 et dirigéepar le vecteur :
−→
d M
d t
( t 0 ) = ( a sh t 0 , b ch t 0 ) =
ay 0
b
,
bx 0
a
Son équation cartésienne est donc :
bx 0
a
(x − x 0 ) −
ay 0
b
(y − y 0 ) = 0
ce qui équivaut à:
bxx 0
a
−
ayy 0
b
=
bx
2
0
a
−
ay
2
0
b
, ou encore à:
xx 0
a 2 −
yy 0
b 2 =
x
2
0
a 2 −
y
2
0
b 2
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