COURS 6
Coniques
APPLICATION 1
Propriété géométrique de la tangente àl’ellipse
Supposonsl’ellipse paramétrée, et dérivons la relation :
−→
FM 2 +
−−→
F
M 2 = 2 a :
−→
FM ·
−→
d M
d t
−→
FM
+
−−→
F
M ·
−→
d M
d t
−−→
F
M
= 0
Posons u =
−→
FM
−→
FM
et
u =
−−→
F
M
−−→
F
M
(ce sont
desv ecteurs unitaires des droites (FM )e t( F
M )).
On a:
( u+
u )·
−→
d M
d t
= 0
La tangente en M àl ’ellipse esto rthogonale à
u +
u :c’est la bissectrice extérieure de l’angle
FMF
(Doc. 10).
F 0
F
M
O
u
!
u
! 0
u
! u
! 0
+
Doc. 10
4 Hyperbole
4.1 • Équation réduite
On appelle hyperbole une conique d’excentricité e > 1( Doc. 11). Son
équation dans le repère choisi au §1.2est : x
2
+ y
2
= (ex + p)
2
, c’est-à-dire :
(e
2
− 1)
x
2
+
2ep
e 2 − 1
x
− y
2
= −p
2
Effectuons un changement de repère en choisissantp our nouvelle origine le
point O(−
ep
e 2 − 1
, 0). Les coordonnées (X , Y )d eM dans le nouveau
repère sont donnéesp ar :
⎧
⎨
⎩
X = x +
ep
e 2 − 1
Y = y
. L’équation de l’hyperbole
devient:
(e
2
−1)X
2
− Y
2
= −p
2
+
e
2
p
2
e 2 − 1
=
p
2
e 2 − 1
Posons a =
p
e 2 − 1
et b =
p
√
e 2 − 1
. L’équation de l’hyperbole s’écrit :
X
2
a 2 −
Y
2
b 2 = 1( équation réduite de l’hyperbole)
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