Coniques
COURS
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3.4 • Définitionbifocale de l’ellipse
M
D 0
D
O
F
H 0
F 0
H
Doc. 9 Propriété bifocale de l’ellipse.
Projetonsu np oint M de l’ellipse orthogonalement sur chacune desd irectrices
D et D
en H et H
(Doc. 9). Du fait de la définition d’une conique :
MF
MH
=
MF
MH = e ;d ’où MF + MF
= e(MH + MH
)
Comme M ∈ [HH
], MH + MH
= HH
=
2a
e
. D’où :
∀M ∈C MF + MF
= 2a
Nous admettrons que réciproquement, tout point vérifiantcette relation appartient
àl’ellipse C (on peut le vérifier analytiquement).
Une ellipse estd onc l’ensemble des points dont la somme des distances àd eux
points fixes est constante. Ce principe sert aux jardiniers àtracer de belles platesbandes elliptiques.
3.5 • Tangente àl’ellipse
Soit E l’ellipsedéfinie paramétriquement par :
x(t) = a cos t
y(t) = b sin t
;c onsidérons
le point M 0 de E de coordonnées x 0 = a cos t 0 , y 0 = b sin t 0 . La tangente à
E au point M 0 est la droite passant par M 0 et dirigéepar le vecteur :
−→
d M
d t
( t 0 ) = ( − a sin t 0 , b cos t 0 ) =
−
ay 0
b
,
bx 0
a
Son équation cartésienne est donc :
bx 0
a
(x − x 0 )+
ay 0
b
(y − y 0 ) = 0
ce qui équivaut à:
bxx 0
a
+
ayy 0
b
=
bx
2
0
a
+
ay
2
0
b
, ou encore à:
xx 0
a 2 +
yy 0
b 2 =
x
2
0
a 2 +
y
2
0
b 2
comme M 0 appartient à E,
x
2
0
a 2 +
y
2
0
b 2 = 1; l’équation de la tangente est donc :
xx 0
a 2 +
yy 0
b 2 = 1
On retrouve encore le principe de «dédoublement », comme pour le cercle et la
parabole.
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