COURS 6
Coniques
• a est appelé demi-grandaxe.
• b est appelé demi-petit axe (on vérifie que b < a).
• OF = c = ea est appelé demi-distancefocale.
On remarque que a
2
= b
2
+ c
2
, c’est-à-dire que le triangle (OBF )e st
rectangleen O.
3.2• Paramétrage de l’ellipse
Mt ()
O
t
Aa (, 0)
Bb (0, )
at cos
bt sin
Doc. 7 Cercle principal d’une ellipse.
L’ellipse C est l’image du cercle de centre O de rayon a (appelé cercle principal de l’ellipse) (Doc. 7) par l’applicationa ffine définie analytiquement par :
X
= X
Y
=
b
a
Y
.
Cetteapplication estappelée affinité orthogonale d’axe (OX )e tderapport
b
a
.
On en déduit un paramétrage simple de l’ellipse:
X(t)=acos t
Y (t) = b sin t
3.3 • Projection orthogonaled’un cercle de l’espace sur
un plan
y
x
E
z
O
P
x x
C
Doc. 8 Projection d’un cercle surun
plan.
L’espace étant rapporté àunrepère orthonormal (O,, i, j, k), soit C le cercle de
centre O, de rayon R, dans le plan P contenantl’axe Ox et faisantunangle
α avec l’axe Oy (Doc. 8).
Le cercle C est l’intersection de P et de la sphère de centre O de rayon R ;i l
adonc pour équations :
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
z = y tan α
On en déduit :
x
2
+ y
2
(1 +tan
2 α) = R
2
, soit :
x
2
R 2 +
y
2
R 2 cos 2 α
= 1
La projection orthogonale de C sur un plan parallèle à( xOy)e st donc une
ellipse de demi-grandaxe R et de demi-petit axe R cos α. On en déduit que sa
demi-distancefocale est c = R sin α, et sonexcentricité : e =
c
a
= sin α.
Photo infrarougedeSaturne parle
téléscope spatial Hubble (NASA).
Ceci explique pourquoi un cercle de l’espace estvuenperspective sous forme d’une
ellipse ;onpense par exemple aux anneaux de Saturne.
Pours’entraîner :ex. 2
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