Coniques
COURS
6
3 Ellipse
3.1 • Équation réduite
On appelle ellipse une conique d’excentricité e < 1. Sonéquation dans le repère
choisi au §1.2est : x
2
+ y
2
= (ex + p)
2
, c’est-à-dire :
(1 − e
2
)
x
2
−
2ep
1 − e 2 x
+ y
2
= p
2
Effectuons un changement de repère en choisissantpour nouvelle origine le point
O(
ep
1 − e 2 , 0). Les coordonnées( X , Y )d eM dans le nouveau repère sont
donnéespar :
X = x −
ep
1 − e 2
Y = y
. L’équation de l’ellipse devient:
(1 − e
2
)X
2
+ Y
2
= p
2
+
e
2
p
2
1 − e 2 =
p
2
1 − e 2
Posons a =
p
1 − e 2 et b =
p
√
1 − e 2
. L’équation de l’ellipse s’écrit :
X
2
a 2 +
Y
2
b 2 = 1( équation réduite de l’ellipse)
ÀRETENIR
MF + MF
= 2a
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
c
2 = a
2 − b
2
e =
c
a
=
e
a
c
x
ou
a
2
directrice
c
x
a
2
-
=
directrice
c e r c l e p ri n ci pa l
ce rc le s e c o n d a
i r e
y
x
F
F
0
x 0
y 0
A
0
B
0
B
c
c
- c
- a
- b
b
b
0
a
a
A
Doc. 6 Ellipse. Surcette figure, e =
3
4
.
On remarque que l’ellipse ad eux axes de symétrie (Doc. 6).I le xiste donc un
deuxième foyer F
et unedeuxième directrice D
, symétriques des premiers par
rapportàl’axe OY . Lesf oyers ont pour coordonnées (ea, 0) et (−ea, 0) ;l es
directricesont pour équations X =
a
e
et X = −
a
e
.
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