COURS 6
Coniques
2 Parabole
2.1 • Équation réduite
S
F
M
H
Y
X
Doc. 4 Parabole.
On appelle parabole unec onique d’excentricité e = 1. Son équation dans le
repère choisi au §1.2est : x
2
+ y
2
= (x + p)
2
, c’est-à-dire : y
2
= 2px + p
2
.
Effectuons un changement de repère en choisissant pour nouvelle origine le point
S(−
p
2
, 0) (sommet de la parabole) (Doc. 4). Lescoordonnées (X , Y )d eM dans
le nouveaurepère sont données par :
⎧
⎨
⎩
X = x +
p
2
Y = y
.
L’équation de la parabole devient :
Y
2
= 2pX
(équation réduite de la parabole)
2.2 • Paramétrage de la parabole
On peut choisir Y comme paramètre :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
X (t) =
t
2
2p
Y (t) = t
2.3 • Tangente àlaparabole
F
M
H
Doc.5 Tangente àlaparabole.
Soit M un point quelconque de la parabole de foyer F , de directrice D, et
H le projeté orthogonal de M sur D (Doc. 5). La paraboleé tant supposée
paramétrée, dérivons la relation :
−→
FM
2
=
−−→
HM
2
:
2
−→
FM ·
−→
d M
d t
= 2
−−→
HM ·
−→
d M
d t
−
−→
d H
d t
Or
−−→
HM ·
−→
d H
d t
= 0 , d’où
−→
FH ·
−→
d M
d t
= 0 .
Antenne parabolique.
La tangente en M àlaparabole estorthogonale à( FH ):c’est la médiatrice de
[FH ]. C’est ce qui permet d’expliquer les propriétés d’un miroir parabolique :un
rayon lumineux issu du foyer se réfléchit sur le miroir (localement assimilable à
sa tangente) suivant une parallèle àl’axe de la parabole (phare) ;dans l’autre sens,
les rayons lumineux parallèles àl’axe sont concentrés au foyer (antenne, téléscope,
four solaire...).
Si la parabole est représentée par son équation réduite y
2
= 2px, un point N (x, y)
appartient àlatangente en M (x 0 , y 0 )s ietseulement si : NH
2
= NF
2
, soit :
x +
p
2
2 +(y−y 0 )
2
=
x−
p
2
2 +y
2
ce qui équivaut à: yy 0 = p(x + x 0 ). On retrouve le même principe de «dédoublement»déjà rencontré pour les cercles.
Pour s’entraîner :ex. 5
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