Coniques
COURS
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1 Coniques définies par foyer
et directrice
1.1 • Définition
F
HM
D
Doc. 1 Foyeretdirectrice.
Soit dansleplan P une droite D et un point F n’appartenantpas à D. Soit e
un réelstrictement positif. On appelle conique de foyer F , de directrice D et
d’excentricité e l’ensemble C des points M de P tels que :
MF
d(M , D)
= e
C’est-à-dire
MF
MH
= e où H estleprojeté orthogonal de M sur D (Doc. 1).
Remarque :Cette définition ne faisant intervenir que des rapports de distance, elle est
invariante par similitude :l’image d’une conique parune similitude est une conique
de même excentricité.
1.2 • Équation cartésiennedans un repère orthonormal
F
−q
y
x
D
Doc. 2 Repère d’origine F .
Afin d’écrire uneéquation cartésienne de C, choisissons un repère orthonormal
d’origine F , l’axe des ordonnées étant parallèle à D, de sorte que l’équation de
D soit x = −q (Doc. 2).
M (x, y) ∈C
⇐⇒
MF
2
= e
2
MH
2
⇐⇒
x
2
+ y
2
= e
2
( x + q )
2
On pose p = eq (p esta ppelé paramètre de la conique). L’équation de C
s’écrit :
x
2
+ y
2
= (ex + p)
2
1.3 • Équation polaired’une conique de foyer O
y
x
HM
O
u
D
Doc. 3 Représentation polaired’une
conique.
Si le point M de la coniqueapourcoordonnées polaires (ρ, θ), on a: MO = ρ
et MH = ρ cos θ + q (Doc. 3). D’où :
M ∈C
⇐⇒
ρ = e
ρ cos θ +
p
e
= eρ cos θ + p
La conique C adonc pour équation polaire :
ρ =
p
1 − e cos θ
Remarque :Sio nc hange l’orientation de l’axe Ox, cela revient àc hanger θ en
θ + π. L’équation polairedevient :
ρ =
p
1+e cos θ
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