Courbes paramétrées
EXERCICES
5
Exercicesposés aux oraux des concours
11 (Centrale-Supelec 2006)
Dans le plan euclidien R
2
,ondonne le cercle unité C :
x
2
+ y
2
= 1,deux points A(0, 1) , B(−1, 0) ,etleurs symétriques A
et B
par rapport à O .
1) Montrer que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x =
1 − t
2
1+t 2
y=
2t
1+t 2
pour t ∈ R est un paramétrage injectif de C privé du point B .Interprétation
géométrique du paramètre t ?
2) Soit M 0 (t 0 )u npoint de C différent de A, B, A
, B
.
Soit M 1 (t 1 )l epoint de C telque la tangente en M 0 à C ,
l’axedes abscisses et la droite( AM 1 )s oient concourantes.
Trouver le paramètre t 1 de M 1 en fonction de t 0 .
On recommence la construction en remplaçant M 0 par
M 1 pour obtenirunpoint M 2 ,puis de proche en proche
un point M n pour tout n ∈ N .Étudier la suite (M n ) n∈N .
12 (TPE 2006)
Construirelacourbe d’équation polaire :
ρ(θ) =
sin θ
√ 3 − 2cos θ
.
Préciser la position de la courbe parrapport àson asymptote.
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