Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Une courbe de classe C
1
est toujours régulière.
b) La tangente en un point M (t 0 )e st la position limite de
la sécante( M ( t 0 ) M ( t )) quand t tendvers t 0 .
c) En un point qui n’est pasrégulier, la courbe ne possède
pas de tangente.
d)
−− −−→
OM (θ) = ρ(θ) u, avec u unitaire,e ntraîne que
ρ(θ) =
−− −−→
OM (θ).
e) Unec ourbe paramétrée définie par une équation polaire de classe C
1
ne peut avoir de point stationnaire qu’à
l’origine.
f) La période d’une courbe paramétrée définie par une équation polaireest un multiple de 2π.
Courbesparamétrées
2 Une courbe paramétrée (I ,
− →
f )p ossède un point
double s’il existe (t 0 , t 1 ) ∈ I
2
telque M (t 0 ) = M (t 1 ).
Montrerque la courbe paramétrée définie par :
x(t) = 3t
3
+2t
2
−t−1
y(t)=3t
2
+2t+1
admet un point double. Déterminer les deux tangentes correspondantes.
3 On considère la courbe Γ définie paramétriquement
par:
x(t)=3t
2
y(t)=2t
3
Déterminer une droite tangente à Γ en un point et normale
à Γ en un autre point.
4 On considère la courbe Γ définie paramétriquement
par:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t)=t−
1
t
y(t)=t+
1
t 2
Déterminer la condition d’alignement de trois points de Γ.
En déduirel’existence d’un point double que l’on déterminera.
5 Étudierettracer les courbes paramétrées définies par:
a)
x(t) = 3t − t
3
y(t) = 2t
2
− t
4
b)
x(t) = cos 3t
y(t) = sin 2t
c)
x(t) = cos t +cos 3t
y(t) = sin t +sin 3t
d)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t) =
t
1+t 2
y(t)=
2+t
3
1+t 2
e)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t) =
t
1+t 3
y(t)=
t
2
1+t 3
f)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(t) = cos t
y(t) =
sin
2
t
2+sin t
6 Épicycloïdes.Soit C un cercle fixe de centre O, de
rayon R, et n un entier naturel non nul. Soit C
un
cercle de rayon
R
n
qui roule sans glisser àl ’extérieur du
cercle C .
Déterminer une représentation paramétrique de la courbe
décrite parunpoint de C
.
Étudierettracer les courbes correspondant à:
• n=1( Cardioïde)
• n = 2( Néphroïde)
7 Hypocycloïdes.R eprendre l’exercice précédent
lorsque le cercle C
est àl’intérieur du cercle C .
Étudier et tracer les courbes correspondant à:
• n=2
• n=3
Courbes définies
par uneéquation polaire
8 Étudiere tt racer les courbes définies parl ’équation
polaire:
a) ρ(θ) =
sin3θ
sin θ
b) ρ(θ) = cos
3
2
θ +
√ 2
2
c) ρ(θ) = cos θ +sin θ
d) ρ(θ) =
1 − sin θ
1+cos θ
e) ρ(θ) =
sin θ
1 − 2cos θ
f) ρ(θ) =
θ
θ − π
9 Lemniscate de Bernoulli.O nc onsidère les points
F (1, 0) et F
(−1, 0). Déterminer uneé quation polaire de l’ensemble C des points M du plan tels que
MF · MF
= 1. Étudierettracer cette courbe.
10 Soit la droite D d’équation x = −1e tlecercle C
de centre I (1, 0) et de rayon 1. Une droite Δ passantpar
O coupe D en P et C en Q. Déterminer l’ensemble
Γ décrit parlepoint M , milieu de [PQ].
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1 Vraioufaux ?
a) Une courbe de classe C
1
est toujours régulière.
b) La tangente en un point M (t 0 )e st la position limite de
la sécante( M ( t 0 ) M ( t )) quand t tendvers t 0 .
c) En un point qui n’est pasrégulier, la courbe ne possède
pas de tangente.
d)
−− −−→
OM (θ) = ρ(θ) u, avec u unitaire,e ntraîne que
ρ(θ) =
−− −−→
OM (θ).
e) Unec ourbe paramétrée définie par une équation polaire de classe C
1
ne peut avoir de point stationnaire qu’à
l’origine.
f) La période d’une courbe paramétrée définie par une équation polaireest un multiple de 2π.
Courbesparamétrées
2 Une courbe paramétrée (I ,
− →
f )p ossède un point
double s’il existe (t 0 , t 1 ) ∈ I
2
telque M (t 0 ) = M (t 1 ).
Montrerque la courbe paramétrée définie par :
x(t) = 3t
3
+2t
2
−t−1
y(t)=3t
2
+2t+1
admet un point double. Déterminer les deux tangentes correspondantes.
3 On considère la courbe Γ définie paramétriquement
par:
x(t)=3t
2
y(t)=2t
3
Déterminer une droite tangente à Γ en un point et normale
à Γ en un autre point.
4 On considère la courbe Γ définie paramétriquement
par:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t)=t−
1
t
y(t)=t+
1
t 2
Déterminer la condition d’alignement de trois points de Γ.
En déduirel’existence d’un point double que l’on déterminera.
5 Étudierettracer les courbes paramétrées définies par:
a)
x(t) = 3t − t
3
y(t) = 2t
2
− t
4
b)
x(t) = cos 3t
y(t) = sin 2t
c)
x(t) = cos t +cos 3t
y(t) = sin t +sin 3t
d)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t) =
t
1+t 2
y(t)=
2+t
3
1+t 2
e)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x(t) =
t
1+t 3
y(t)=
t
2
1+t 3
f)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(t) = cos t
y(t) =
sin
2
t
2+sin t
6 Épicycloïdes.Soit C un cercle fixe de centre O, de
rayon R, et n un entier naturel non nul. Soit C
un
cercle de rayon
R
n
qui roule sans glisser àl ’extérieur du
cercle C .
Déterminer une représentation paramétrique de la courbe
décrite parunpoint de C
.
Étudierettracer les courbes correspondant à:
• n=1( Cardioïde)
• n = 2( Néphroïde)
7 Hypocycloïdes.R eprendre l’exercice précédent
lorsque le cercle C
est àl’intérieur du cercle C .
Étudier et tracer les courbes correspondant à:
• n=2
• n=3
Courbes définies
par uneéquation polaire
8 Étudiere tt racer les courbes définies parl ’équation
polaire:
a) ρ(θ) =
sin3θ
sin θ
b) ρ(θ) = cos
3
2
θ +
√ 2
2
c) ρ(θ) = cos θ +sin θ
d) ρ(θ) =
1 − sin θ
1+cos θ
e) ρ(θ) =
sin θ
1 − 2cos θ
f) ρ(θ) =
θ
θ − π
9 Lemniscate de Bernoulli.O nc onsidère les points
F (1, 0) et F
(−1, 0). Déterminer uneé quation polaire de l’ensemble C des points M du plan tels que
MF · MF
= 1. Étudierettracer cette courbe.
10 Soit la droite D d’équation x = −1e tlecercle C
de centre I (1, 0) et de rayon 1. Une droite Δ passantpar
O coupe D en P et C en Q. Déterminer l’ensemble
Γ décrit parlepoint M , milieu de [PQ].
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