.
u,
_
î
Champ gravitationnel
451
.
P
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.
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9
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-
z
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‘
_dR
_
R,
,
_“
1
Fig; 13—20.
Champ gravitationnel d’un
_
f
_
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plan|
-
_
EXEMPLE 13.8.
Trouver le champ gravitationnel produit par une ne couche de matière
couvrant un plan inni.
_
,
_
-
.
.
.
I
.
.
.
iSolutton:_ commençons par d1v1ser le plan en une ser1e d’anneaux tous concentriques, de centre
O, projection de P sur le plan (Fig. 13 —-20) . Chaque anneau a un rayon R et une largeur dR
.
L’aire
!]
est donc (275R) dR
.
Si 0 est la masse par unité de surface sur le plan, la masse de l’anneau est
i
dm : a(2nR dR) : 27wR dR. Tous les points de l’anneau sont àla même distancerdè P,'et par
__
conséquent le potentiel qu’il produit en P est
_
,
;
;
dV _
_
7 dm
_
27r'YUR dR
_
_
_
r
'
(22 + R2)1/2
’
_
-
_
puisque r = (2:2 + R 2)2. Pour obtenir le potentiel total nous devons ajouter les contributions de
_
tous les anneaux. C’est-à-dire que nous devons intégrer l’expression donnée de R:“
0 a R = _00.
_ i
le résultat est
'
°°
R
R
"
d
_
'
:
_
_
0
<22+ 32)1/2
_
.
-
‘
'
if
=
—27r70(00 — z).
_
.
»
'
*
Nous obtenons ainsi une contribution innie mais constante pour la limite supérieure. Puisque
«
nous ne nous intéressons qu’à la différence de potentiel entre le point et le plan, que seule nous
__z _
pouvons réellement mesurer expérimentalement, nous devons soustraire de .“ 1’9XPT_GSSIOÏ‘
C1”
?
dessus_ la valeur pour 2 = 0, c’est—à—dire,
_
—27W0(00)nous
’
Ë
ce que nous venons de faire est une opération appelée ren0ïmalisatiÿn,daÏlS—-.1ÊqËeue
_
Î
nous attfibuons la valeur nulle au potentiel du plan, et où nous sommes par consequent obl_1ges
de
_
50ustraue une quantité innie. Ce problème est un bon exemple
de 0,33 semblables, dans "d autres
ËËÏ Ë
problemes“ de PhySÏQue; pour lesquels le résultat est inni -o_u diver€9“? ?n315’. comme nous
nous
seulement à
différence entre deux résultats innis,_ cette—difference peut
_
i
seXprimer’sousla forme d’une eXpres'sion nie ou convergente“.
_
'
__
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,
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.”
13 -2.0’ __
.
—
Nous obtenons le champ en ? (puisque 2 est'la coordonnée du Point)
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