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Ïnteraction de gravitation
Soëutâon: considérons une particule de masse m à la surface de la terre. Sa distance au centre
de celle-ci est égale au rayon terrestre R. Aussi, si nous désignons la masse de la terre par M,
’
l’expression (13.1) donne-telle pour la force s’exerçant sur le corps,
"
F = 7mM/R2.
Cette force est celle dénie dans l’Eq. (7 . 16) comme le poids du corps, et doit donc être égale à mg,
où g est l’accélérateur de la pesanteur. Donc
mg : ”YmM/R2
ou, en supprimant le facteur commun m, nous avons
g = 'YM/R2.
Ce résultat donne l’accélération de la pesanteur en fonction de la masse et du rayon de la terre.
Remarquons que la masse du corps n’apparait pas dans cette expression, et qu’ainsi (si nous
négligeons la résistance de l’air) tous les corps doivent tomber avec la même accélération, en
accord avec ce qu’on observe.
En résolvant cette équation pour la masse de la terre M, nous obtenons
.
M = ng2 /”Y .
En introduisant les valeurs numériques convenables g = 9,8 m s_2, R = 6,87 >< 106 met
;; = 6,67 X 10”11 rn3 kg_1
nous avons M = 5,98 >< 1024 Kg.
L’étudiant doit remarquer qu’en traitant cet exemple, nous avons utilisé la distance dela
masse m au centre de la terre; autrement dit, nous avons implicitement admis que la force surm
est la même que si toute la masse de la terre était concentrée en son centre, une hypothèse qui
sera justiée au paragraphe 18.7.
EXEMPLE 13.2.
Evaluer la masse d’une planète qui a un satellite.
Sotution: Supposons qu’un satellite de masse m décrive, avec une période P, une orbite circulaire
de rayon r autour d’une planète de masse M. La force d’attraction entre la planète et le satellite
est
F = 7mM/r2.
La force doit être égale à m fois l’accélération centripète v2/r : 47r2r/P2. Ainsi
2
47r mr
__
7mM
_
P2
ΰ
En supprimant le facteur commun m, on en tire M
M =
_
Nous proposons à l’étudiant d’utiliser cette expression pour réévaluer la masse de la terre, en
utilisant les données numériques pour la lune (r = 3,84 >< 108 metP = 2,36 >< 106 s). L’accord
avec le résultat de l’exemple 13.1 prouve qu’il n’y a pas de contradiction dans la théorie. On peut
auss1
utiliser cette formule pour obtenir la masse du soleil, en se servant des données pour
les differentes planètes.
Ïnteraction de gravitation
Soëutâon: considérons une particule de masse m à la surface de la terre. Sa distance au centre
de celle-ci est égale au rayon terrestre R. Aussi, si nous désignons la masse de la terre par M,
’
l’expression (13.1) donne-telle pour la force s’exerçant sur le corps,
"
F = 7mM/R2.
Cette force est celle dénie dans l’Eq. (7 . 16) comme le poids du corps, et doit donc être égale à mg,
où g est l’accélérateur de la pesanteur. Donc
mg : ”YmM/R2
ou, en supprimant le facteur commun m, nous avons
g = 'YM/R2.
Ce résultat donne l’accélération de la pesanteur en fonction de la masse et du rayon de la terre.
Remarquons que la masse du corps n’apparait pas dans cette expression, et qu’ainsi (si nous
négligeons la résistance de l’air) tous les corps doivent tomber avec la même accélération, en
accord avec ce qu’on observe.
En résolvant cette équation pour la masse de la terre M, nous obtenons
.
M = ng2 /”Y .
En introduisant les valeurs numériques convenables g = 9,8 m s_2, R = 6,87 >< 106 met
;; = 6,67 X 10”11 rn3 kg_1
nous avons M = 5,98 >< 1024 Kg.
L’étudiant doit remarquer qu’en traitant cet exemple, nous avons utilisé la distance dela
masse m au centre de la terre; autrement dit, nous avons implicitement admis que la force surm
est la même que si toute la masse de la terre était concentrée en son centre, une hypothèse qui
sera justiée au paragraphe 18.7.
EXEMPLE 13.2.
Evaluer la masse d’une planète qui a un satellite.
Sotution: Supposons qu’un satellite de masse m décrive, avec une période P, une orbite circulaire
de rayon r autour d’une planète de masse M. La force d’attraction entre la planète et le satellite
est
F = 7mM/r2.
La force doit être égale à m fois l’accélération centripète v2/r : 47r2r/P2. Ainsi
2
47r mr
__
7mM
_
P2
ΰ
En supprimant le facteur commun m, on en tire M
M =
_
Nous proposons à l’étudiant d’utiliser cette expression pour réévaluer la masse de la terre, en
utilisant les données numériques pour la lune (r = 3,84 >< 108 metP = 2,36 >< 106 s). L’accord
avec le résultat de l’exemple 13.1 prouve qu’il n’y a pas de contradiction dans la théorie. On peut
auss1
utiliser cette formule pour obtenir la masse du soleil, en se servant des données pour
les differentes planètes.