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Analyse de Fourier d’un mouvement périodique
413
l
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périodique f(t) de période P : 27r/w peut s’écrire comme la somme
!
æ=f(t)=ao+alcoswt—I—a2cos2œt—l—-…+a,,cosnwt
.
l
'
+---+b1sinœt+bgsin2œt+-u+b,,sinnœt+--l
(12.74)
%
Une telle expression est connue sous le nom de série de Fourier. La fréquence ce est
[
appelée fondamentale et les fréquences 2w, 3w, . . ., na), sont les harmoniques.
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,
Î
Note sur les Coefcients de Fourier:
Les coefcients a,, et b,, sont calculés par les
i
expressions
l
.P
P
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1
2
2
.
ao : _
f(t) dt,
@,
=
_
f(zœ … dt,
b.. = —
f(t)srn nwtdt,
(12.75)
P
0
P
0
P
0
;
qu’on établit dans les cours de mathématiques, mais que l’étudiant peut facilement calculer“
lui-même. Par exemple, pour trouver a… nous multiplions les deux membre de l’Eq. (12.74)
par cos nwt et nous intégrons. Tous les termes, excepté a… donnent une intégrale nulle.
-
!
Pour b,,, nous utilisons sin nwt.
f
Le théorème de Fourier nous donne encore une raison de la grande importance du
mouvement sinusoïdal. Par application du théorème de Fourier, un mouvement periodique quel qu’il soit peut être considéré comme la superposition de mouvements
sinusoidaux. Le mouvement périodique correspondant à la courbe tracée en haut de la
Fig. 12—44 est analysé en ses composants de Fourier. On voit les douze premiers
harmoniques. Le théorème de Fourier nous aide aussi à comprendre la qualite differente
‘
des sons produits par les différents instruments de musique. La meme “note (ou encorele même ton en musique) jouée par un piano, une guitare et un hautbois «sonnent »
différemment à nos‘ oreilles, bien que les notes aient la même fréquence fondamentale.
,
La différence est due à la présence des harmoniques aVec des amplitudes differentes. -
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En’d’autres termes, l’analyse de Fourier du son est différente pour Chaque instrument. .
(b)
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12—43.
deux MS
2w.
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