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Mouvement vibratoire
12.135
Àrtaäyse de Fourier
mouvement périodique
Au début de ce chapitre, nous avons expliqué que le mouvement sinusoidal n’est qu’un
cas particulier du mouvement périodique ou vibratoire. Mais un mouvement périodique
quelconque, de période P est décrit par
x : f(Ü,
(12.72)
où la fonction f(t) est périodique et possède la propriété que f (t) = f (t + P), comme
l’indique la Fig. 12—42. La courbe de f(t) se répète donc identique à eHe—mêmeà
intervalles égaux à P. Ce mouvement vibratoire quelconque peut s’exprimer comme une
combinaison de mouvements sinusoidaux.
Considérons d’abord, comme exemple, le mouvement dont le déplacement est décrit
par
_
x
=
A sin wt + B sin 2œt.
(12.73)
Ceci représente la superposition de deux mouvements sinusoidaux, de fréquences a) et
.z‘=f(il
.r=fll+Pl
}) —…—--—v——ol
l
1
o
I l
]_______P…
l
Fig. 12—42…
Une fonction périodique du temps.
20) ou de période P et %P. Evidemment x est aussi périodique, et sa période est P. On
peut le voir sur le graphique de la Fig. 12—43, dans lequel la courbe (a) correspond
a
sm wt et la courbe (b) à sin 2wt. Bien que x soit périodique, il n’est pas sinus0ïdal.
'
Si nous ajoutons à l’Eq. (12.73) des termes de la forme sin 8wt, sin 4wt, ...,
sm nwt, . . . de pulsations 80), Lieu, . . ., no), . . . et de périodes P/3,P/4, . . .,P/m - -a
ou Si nous additionn0ns des fonctions cosinus ayant les mêmes fréquences, nous obtenons
encore un deplacement x périodique, de période P. Sa forme exacte dépend du nombre
de fonctions sinus et cosinus que nous avons additionnées, et de leurs amplitudes
relatives.
Ainsi nous voyons qu’en additionnant des mouvements sinusoidaux dont les fréquences sont des multiples d’une fréquence fondamentale, et dont les amplitudes
sont
convenablement choisies, nous pouvons obtenir presque toutes les fonctions périodiquesLa remproque aussi est vraie
et constitue le théorème de Fourier, qu’on démontfe
dans les cours de mathématiques. Le théorème de Fourier afrme qu’une fonction
Mouvement vibratoire
12.135
Àrtaäyse de Fourier
mouvement périodique
Au début de ce chapitre, nous avons expliqué que le mouvement sinusoidal n’est qu’un
cas particulier du mouvement périodique ou vibratoire. Mais un mouvement périodique
quelconque, de période P est décrit par
x : f(Ü,
(12.72)
où la fonction f(t) est périodique et possède la propriété que f (t) = f (t + P), comme
l’indique la Fig. 12—42. La courbe de f(t) se répète donc identique à eHe—mêmeà
intervalles égaux à P. Ce mouvement vibratoire quelconque peut s’exprimer comme une
combinaison de mouvements sinusoidaux.
Considérons d’abord, comme exemple, le mouvement dont le déplacement est décrit
par
_
x
=
A sin wt + B sin 2œt.
(12.73)
Ceci représente la superposition de deux mouvements sinusoidaux, de fréquences a) et
.z‘=f(il
.r=fll+Pl
}) —…—--—v——ol
l
1
o
I l
]_______P…
l
Fig. 12—42…
Une fonction périodique du temps.
20) ou de période P et %P. Evidemment x est aussi périodique, et sa période est P. On
peut le voir sur le graphique de la Fig. 12—43, dans lequel la courbe (a) correspond
a
sm wt et la courbe (b) à sin 2wt. Bien que x soit périodique, il n’est pas sinus0ïdal.
'
Si nous ajoutons à l’Eq. (12.73) des termes de la forme sin 8wt, sin 4wt, ...,
sm nwt, . . . de pulsations 80), Lieu, . . ., no), . . . et de périodes P/3,P/4, . . .,P/m - -a
ou Si nous additionn0ns des fonctions cosinus ayant les mêmes fréquences, nous obtenons
encore un deplacement x périodique, de période P. Sa forme exacte dépend du nombre
de fonctions sinus et cosinus que nous avons additionnées, et de leurs amplitudes
relatives.
Ainsi nous voyons qu’en additionnant des mouvements sinusoidaux dont les fréquences sont des multiples d’une fréquence fondamentale, et dont les amplitudes
sont
convenablement choisies, nous pouvons obtenir presque toutes les fonctions périodiquesLa remproque aussi est vraie
et constitue le théorème de Fourier, qu’on démontfe
dans les cours de mathématiques. Le théorème de Fourier afrme qu’une fonction