Vibrations forcées
405
EXEMPLE 12.Î1
Un pendule est constitué par une sphère d’aluminium de rayon 0,005 m
suspendue à un l long de 1 m. Comment la viscosité de l’air modie—t—elle l’amplitude et la
période?
Solution: nous avons vu au paragraphe 7.10 que la force de viscosité agissant sur une
sphère de rayon R, se déplaçant dans un fluide avec une vitesse u est F : ——67…Ry_
Donc nous pouvons trouver l’équation du mouvement tangentiel du pendule en ajoutant —— à
la force F r = — mg sin 0 œ — mg0 obtenue (paragraphe 125) pour les petites
la force de viscosité ci—dessus avec u = ds/dt = ld6/dt, où l est la longueur du pendule. Donc
2
2
-
ml%=—mg6—ôwan% ou
ce qui est une équation différentielle mathématiquement identique a l’Eq. (12.52). En posant
m
:
(47rR3/8)p où ;) est la densité de la sphère d’aluminium, égale à 2,65 X 103 kg m_3,
nous concluons que
:
ÆL
:
__93_.
'
2(47rR-"/3)p
4R2p
La viscosité de l’air, en supposant l’air à une température de 20°C, est 1,78 >< 10"5 m—1
kg s—1. Donc ;) = 6,43 >< 10”4 s"; l’amplitude décroît ainsi suivant la loi Ae“°*°00643t.
Le temps nécessaire pour que l’amplitude diminue de 10% s’obtient en égalant l’exponentiee
à 0,9 ou —6,48 X
10—416 = ln 0,9. On trouve t = 1,64 >< 103 s, c‘est—à—dire environ 27
minutes.
Pour savoir comment la viscosité de l’air modie la fréquence (ou la période) des oscillations,
nous utilisons l’Eq. (12.54), en remarquant wä = g/l. Donc a) = \/g/l — ;;2. Mais g/l = 9,8 8—2,
tandis que y2 dans notre cas est de l’ordre de 4 >< 10_7 s_2 et par conséquent négligeable devant
g/l. Nous en concluons donc que la viscosité de l’air n’affecte pratiquement pas la période
du pendule considéré dans cet exemple, bien qu’elle affecte son amplitude.
12.13
Vibrations forcées
Un autre problème de grande importance pratique est celui des vibrations forcées d’un
oscillateur; c’est-à-dire les vibrations produites par l’application d’une force extérieure
oscillatoire sur une particule soumise à une force élastique. C’est le cas, par exemple,
lorsque nous plaçons un diapason sur une caisse de résonance, et que nous forçons les
parois de la caisse (et l’air intérieur) à vibrer, ou lorsque des ondes électro-magnétiques
Câptées par une antenne, agissent sur le circuit électrique de notre appareil de radioou de télévision, en produisant des oscillations électriques forcées.
Soit F = F() cos &) ft la force oscillante appliquée, de pulsation w ,.
En supposant
que
la particule est aussi soumise à une force élastique —— kx, et à une force d’amortissement
—Àv, l’équation de son mouvement est ma = ——kx " ÀU + F0 COS w,t. Ou, en
faisant les substitutions, v : dx/ dt, a = d2x/dt2, nous avons
2
m
+ )\
î—Î + kit = FO cos w;t,
.
(12-55)
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EXEMPLE 12.Î1
Un pendule est constitué par une sphère d’aluminium de rayon 0,005 m
suspendue à un l long de 1 m. Comment la viscosité de l’air modie—t—elle l’amplitude et la
période?
Solution: nous avons vu au paragraphe 7.10 que la force de viscosité agissant sur une
sphère de rayon R, se déplaçant dans un fluide avec une vitesse u est F : ——67…Ry_
Donc nous pouvons trouver l’équation du mouvement tangentiel du pendule en ajoutant —— à
la force F r = — mg sin 0 œ — mg0 obtenue (paragraphe 125) pour les petites
la force de viscosité ci—dessus avec u = ds/dt = ld6/dt, où l est la longueur du pendule. Donc
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ml%=—mg6—ôwan% ou
ce qui est une équation différentielle mathématiquement identique a l’Eq. (12.52). En posant
m
:
(47rR3/8)p où ;) est la densité de la sphère d’aluminium, égale à 2,65 X 103 kg m_3,
nous concluons que
:
ÆL
:
__93_.
'
2(47rR-"/3)p
4R2p
La viscosité de l’air, en supposant l’air à une température de 20°C, est 1,78 >< 10"5 m—1
kg s—1. Donc ;) = 6,43 >< 10”4 s"; l’amplitude décroît ainsi suivant la loi Ae“°*°00643t.
Le temps nécessaire pour que l’amplitude diminue de 10% s’obtient en égalant l’exponentiee
à 0,9 ou —6,48 X
10—416 = ln 0,9. On trouve t = 1,64 >< 103 s, c‘est—à—dire environ 27
minutes.
Pour savoir comment la viscosité de l’air modie la fréquence (ou la période) des oscillations,
nous utilisons l’Eq. (12.54), en remarquant wä = g/l. Donc a) = \/g/l — ;;2. Mais g/l = 9,8 8—2,
tandis que y2 dans notre cas est de l’ordre de 4 >< 10_7 s_2 et par conséquent négligeable devant
g/l. Nous en concluons donc que la viscosité de l’air n’affecte pratiquement pas la période
du pendule considéré dans cet exemple, bien qu’elle affecte son amplitude.
12.13
Vibrations forcées
Un autre problème de grande importance pratique est celui des vibrations forcées d’un
oscillateur; c’est-à-dire les vibrations produites par l’application d’une force extérieure
oscillatoire sur une particule soumise à une force élastique. C’est le cas, par exemple,
lorsque nous plaçons un diapason sur une caisse de résonance, et que nous forçons les
parois de la caisse (et l’air intérieur) à vibrer, ou lorsque des ondes électro-magnétiques
Câptées par une antenne, agissent sur le circuit électrique de notre appareil de radioou de télévision, en produisant des oscillations électriques forcées.
Soit F = F() cos &) ft la force oscillante appliquée, de pulsation w ,.
En supposant
que
la particule est aussi soumise à une force élastique —— kx, et à une force d’amortissement
—Àv, l’équation de son mouvement est ma = ——kx " ÀU + F0 COS w,t. Ou, en
faisant les substitutions, v : dx/ dt, a = d2x/dt2, nous avons
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m
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î—Î + kit = FO cos w;t,
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