l
406
Mouvement vibratoire
ce qui, si nous posons de nouveau 2); : À/m et wä = k/m, peut-s’écrire sous la forme
dx
2
Fo
——
27 ——
x =
——
os
15.
dt2
+
dt
+ wo
m
0
ou;
(12.56)
C’est une équation différentielle semblable à l’Eq. (12.52), la seule différence étant
que le membre de droite n’est pas nul. Nous pouvons la résoudre par des techniques
classiques; mais prenons plutôt pour guide notre intuition physique. Il semble logique
que dans ce cas la particule n’oscille ni avec sa pulsation non amortie wo, ni avec sa
pulsation amortie \/æä —- V2- La particule sera plutôt obligée d’osciller avec la pulsation
(of
de la force appliquée. Aussi allons-nous essayer, comme une solution possible de l’Eq.
(12.56), une expression de la forme
x =
A sin (œî — a),
(l2.57)
où, par commodité, on a donné un signe négatif à la phase initiale a. La substitution
directe dans l’équation montre qu’elle peut être satisfaite si l’amplitude A est donnée
par*
F
m
_
V
'
w? — wä
tg & =
_‘2'Yœf
-
(12.59)
Remarquons que A et la phase initiale a, ne sont plus ni l’une ni l’autre des grandeurs
arbitraires, mais des grandeurs déterminées qui dépendent de la pulsation a) fde
la
force appliquée. Mathématiquement, cela signie que nous avons obtenu une solution
«
particulière » de l’équation différentielle**. L’équation (12.57) indique que
les
oscillations forcées ne sont pas amorties, mais ont une amplitude constante et ont
une pulsation égale à celle de la force appliquée. Ceci signie que la force appliquee
excede les forces d’amortissement, et fournit donc l’énergie nécessaire au maintien des
oscillations.
Dans la Fig. 12—35, l’amplitude A est portée en fonction de la pulsation
une valeur donnée de À. L’amplitude a un maximum prononcé quand le dénominateur
*Pour le vérier, développer d’abord sin (w,t — a) et substituer ce résultat'dans l’EQ.
(12.56).
Pu1s egaler les coefcients de sin wft
et cos cort, respectivement, des deux côtes de
l’equat1on.
Des deux équati0ns ainsi obtenues, les Eqs. (12.58) et (12.59) se déduiseïlt
immediatement.
**Dans la
théorie des équations différentielles, on montre que la solution générale de l’Eq
(12.56)
s’obt1ent en ajoutant à l’Eq. (12.57), l’Eq. (12.58) solution de l’Eq. (12.52). Toutef01&
PUISQU€ l’Eq. (12.53) correspond à une oscillation amortie, elle devient rapidement
et on P€Ut donc l’ign0rer. On l’appelle habituellement pour cette raison le terme transit0zrÇ
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Mouvement vibratoire
ce qui, si nous posons de nouveau 2); : À/m et wä = k/m, peut-s’écrire sous la forme
dx
2
Fo
——
27 ——
x =
——
os
15.
dt2
+
dt
+ wo
m
0
ou;
(12.56)
C’est une équation différentielle semblable à l’Eq. (12.52), la seule différence étant
que le membre de droite n’est pas nul. Nous pouvons la résoudre par des techniques
classiques; mais prenons plutôt pour guide notre intuition physique. Il semble logique
que dans ce cas la particule n’oscille ni avec sa pulsation non amortie wo, ni avec sa
pulsation amortie \/æä —- V2- La particule sera plutôt obligée d’osciller avec la pulsation
(of
de la force appliquée. Aussi allons-nous essayer, comme une solution possible de l’Eq.
(12.56), une expression de la forme
x =
A sin (œî — a),
(l2.57)
où, par commodité, on a donné un signe négatif à la phase initiale a. La substitution
directe dans l’équation montre qu’elle peut être satisfaite si l’amplitude A est donnée
par*
F
m
_
V
'
w? — wä
tg & =
_‘2'Yœf
-
(12.59)
Remarquons que A et la phase initiale a, ne sont plus ni l’une ni l’autre des grandeurs
arbitraires, mais des grandeurs déterminées qui dépendent de la pulsation a) fde
la
force appliquée. Mathématiquement, cela signie que nous avons obtenu une solution
«
particulière » de l’équation différentielle**. L’équation (12.57) indique que
les
oscillations forcées ne sont pas amorties, mais ont une amplitude constante et ont
une pulsation égale à celle de la force appliquée. Ceci signie que la force appliquee
excede les forces d’amortissement, et fournit donc l’énergie nécessaire au maintien des
oscillations.
Dans la Fig. 12—35, l’amplitude A est portée en fonction de la pulsation
une valeur donnée de À. L’amplitude a un maximum prononcé quand le dénominateur
*Pour le vérier, développer d’abord sin (w,t — a) et substituer ce résultat'dans l’EQ.
(12.56).
Pu1s egaler les coefcients de sin wft
et cos cort, respectivement, des deux côtes de
l’equat1on.
Des deux équati0ns ainsi obtenues, les Eqs. (12.58) et (12.59) se déduiseïlt
immediatement.
**Dans la
théorie des équations différentielles, on montre que la solution générale de l’Eq
(12.56)
s’obt1ent en ajoutant à l’Eq. (12.57), l’Eq. (12.58) solution de l’Eq. (12.52). Toutef01&
PUISQU€ l’Eq. (12.53) correspond à une oscillation amortie, elle devient rapidement
et on P€Ut donc l’ign0rer. On l’appelle habituellement pour cette raison le terme transit0zrÇ