Télédétection et ressources en eau/Remote sensing and water resources
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( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
2
1
2
1
1
S
t
Q
j
t
S
t
Q j t
Q j t Q j
t
j
out
j
out
in
in
+
+
+
=
−
+
+
+
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(15)
Dans le cas d’un réservoir, en combinant l’équation précédente avec la fonction niveau de
stockage-débit sortant, le calcul des deux inconnues est fait de la manière suivante :
• la relation topographique hauteur-surface-volume donne la valeur du stock à partir de
l’élévation du niveau d’eau;
• la relation hydraulique débit de sortie-hauteur d’eau donne le débit sortant suite à l’élévation
du niveau d’eau ; elle est établie soit par une opération de tarage, soit en utilisant des profils
types de régime hydraulique connu.
Méthode de Muskingum
Le transfert des débits amont mesurés et /ou simulés à l’exutoire des sous-bassins, ou à la sortie
des différentes formes de réservoir, est traité par la méthode de Muskingum de transfert de débit
dans une rivière. Entre les deux sections de contrôle amont et aval, en supposant que l’aire des
sections en travers est directement proportionnelle au débit transitant, le stockage dans la rivière
est divisé en deux parties κQ out et κχ(Q in -Q out ) où κ est un coefficient de proportionnalité et χ est
un facteur de pondération compris entre 0 et 0,5 (Chow et al. 1988).
La fonction de stockage de la méthode de Muskingum, qui représente un système linéaire de
transfert d’écoulement en rivière, est donnée par l’équation de continuité suivante :
(
)
( )
[
]
S
Q
Q Q
Q
Q
out
in
out
in
out
=
+
−
=
+ −
κ
κχ
κ χ
χ
1
(16)
Dans le cas d’une rivière naturelle, 0 > χ > 0,3, il est en moyenne égale à 0,2. Par contre, le
paramètre κ est déterminé par le temps de transfert de l’onde à travers la rivière (Lindsey et al.
1992).
Indicée par j au début et par j+1 à la fin de l’intervalle de temps, la variation de stock peut
être également écrite de la façon suivante :
( )
(
) ( ) ( )
(
)
[
]
( ) (
) ( )
[
]
{
}
S
S
Q j
t
Q
j
t
Q j t
Q j t
j
j
in
out
in
out
+ − =
+
+ −
+
−
+ −
1
1
1
1
1
κ χ
χ
χ
χ
∆
∆
∆
∆
(17)
La résolution simplifiée de la combinaison des équations (14) et (17) détermine l’équation de
transfert de la méthode de Muskingum écrite de la façon suivante (Cunge 1969) :
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
Q
j
t C Q
j
t C Q j t C Q
j t
out
in
in
out
+
=
+
+
+
1
1
1
2
3
∆
∆
∆
∆
(18)
où C 1 , C 2 et C 3 sont fonction de κ, χ et ∆t de telle sorte que : C 1 + C 2 + C 3 = 1.
Les valeurs de κ et de χ peuvent être déterminées à partir des hydrogrammes d’entrée et de
sortie mesurés. En effet, à partir des équations de variation de stock, on peut établir la relation
suivante :
( )
(
) ( )
[
]
( )
(
)
( )
[
]
( )
(
) ( )
[
] ( ) ( )
(
)
( )
[
]
κ
χ
=
+
+
−
+
+
+
−
+ −
+
−
0 5
1
1
1
1
1
, ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
t Q
j
t Q j t
Q
j
t Q
j t
Q
j
t Q j t
Q
j
t Q
j t
in
in
out
out
in
in
out
out
(19)
En prenant différentes valeurs de χ et en plaçant sur un dessin le numérateur en ordonnée et le
dénominateur en abscisse, on obtient en principe des courbes en boucles. La valeur de χ
correspondant à la boucle fermée est retenue. La valeur de κ est alors la pente de la droite passant
par le milieu de cette boucle (Gill 1978).
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( )
(
)
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( )
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)
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)
2
1
2
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S
t
Q
j
t
S
t
Q j t
Q j t Q j
t
j
out
j
out
in
in
+
+
+
=
−
+
+
+
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(15)
Dans le cas d’un réservoir, en combinant l’équation précédente avec la fonction niveau de
stockage-débit sortant, le calcul des deux inconnues est fait de la manière suivante :
• la relation topographique hauteur-surface-volume donne la valeur du stock à partir de
l’élévation du niveau d’eau;
• la relation hydraulique débit de sortie-hauteur d’eau donne le débit sortant suite à l’élévation
du niveau d’eau ; elle est établie soit par une opération de tarage, soit en utilisant des profils
types de régime hydraulique connu.
Méthode de Muskingum
Le transfert des débits amont mesurés et /ou simulés à l’exutoire des sous-bassins, ou à la sortie
des différentes formes de réservoir, est traité par la méthode de Muskingum de transfert de débit
dans une rivière. Entre les deux sections de contrôle amont et aval, en supposant que l’aire des
sections en travers est directement proportionnelle au débit transitant, le stockage dans la rivière
est divisé en deux parties κQ out et κχ(Q in -Q out ) où κ est un coefficient de proportionnalité et χ est
un facteur de pondération compris entre 0 et 0,5 (Chow et al. 1988).
La fonction de stockage de la méthode de Muskingum, qui représente un système linéaire de
transfert d’écoulement en rivière, est donnée par l’équation de continuité suivante :
(
)
( )
[
]
S
Q
Q Q
Q
Q
out
in
out
in
out
=
+
−
=
+ −
κ
κχ
κ χ
χ
1
(16)
Dans le cas d’une rivière naturelle, 0 > χ > 0,3, il est en moyenne égale à 0,2. Par contre, le
paramètre κ est déterminé par le temps de transfert de l’onde à travers la rivière (Lindsey et al.
1992).
Indicée par j au début et par j+1 à la fin de l’intervalle de temps, la variation de stock peut
être également écrite de la façon suivante :
( )
(
) ( ) ( )
(
)
[
]
( ) (
) ( )
[
]
{
}
S
S
Q j
t
Q
j
t
Q j t
Q j t
j
j
in
out
in
out
+ − =
+
+ −
+
−
+ −
1
1
1
1
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κ χ
χ
χ
χ
∆
∆
∆
∆
(17)
La résolution simplifiée de la combinaison des équations (14) et (17) détermine l’équation de
transfert de la méthode de Muskingum écrite de la façon suivante (Cunge 1969) :
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
Q
j
t C Q
j
t C Q j t C Q
j t
out
in
in
out
+
=
+
+
+
1
1
1
2
3
∆
∆
∆
∆
(18)
où C 1 , C 2 et C 3 sont fonction de κ, χ et ∆t de telle sorte que : C 1 + C 2 + C 3 = 1.
Les valeurs de κ et de χ peuvent être déterminées à partir des hydrogrammes d’entrée et de
sortie mesurés. En effet, à partir des équations de variation de stock, on peut établir la relation
suivante :
( )
(
) ( )
[
]
( )
(
)
( )
[
]
( )
(
) ( )
[
] ( ) ( )
(
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[
]
κ
χ
=
+
+
−
+
+
+
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+
−
0 5
1
1
1
1
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, ∆
∆
∆
∆
∆
∆
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∆
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t Q
j
t Q j t
Q
j
t Q
j t
Q
j
t Q j t
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in
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out
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out
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(19)
En prenant différentes valeurs de χ et en plaçant sur un dessin le numérateur en ordonnée et le
dénominateur en abscisse, on obtient en principe des courbes en boucles. La valeur de χ
correspondant à la boucle fermée est retenue. La valeur de κ est alors la pente de la droite passant
par le milieu de cette boucle (Gill 1978).