Session 3 : MHM : le modèle hydrologique maillé
424
Pour une pluie ruisselée de durée ∆t et d’intensité I E , le ruissellement Q E (k,t) correspondant à
chaque zone isochrone k au moment t est :
( )
( )
Q k t
A I t
E
k E
, =
(10)
Pour une lame ruisselée de durée quelconque m∆t, le débit de ruissellement à l’exutoire à l’instant
t est constitué de la somme des ruissellements :
• de la 1
ère zone isochrone A 1 à l’instant t, c’est-à-dire A 1 I E (t),
• de la 2
ème zone isochrone A 2 à l’instant précédent t-∆t, c’est-à-dire A 2 I E (t),
• de la k
ème zone isochrone A k à l’instant t-(k-1) ∆t, c’est-à-dire A k I E (t-k+1),
• et ainsi de suite jusqu'à la n Iso
ème zone isochrone n Iso tant que chaque temps récursif
t-(k-1) ∆t est supérieur à 0, pour k variant de 1 à n Iso .
( )
(
)
Q t
A I t k
E
k E
k
n Iso
=
− +
=
∑
1
1
pour (t - k + 1) > 0
(11)
Le principe de l’isochronisme ne concerne que la fonction de transfert.
Transfert d’ondes de crue amont
La relation débits amont-débit à l’exutoire est traitée par transfert d’ondes de crue. Il s’agit de la
résolution de l’équation de continuité du système hydrologique dont l’entrée Q in (t) et la sortie
Q out (t) sont de même nature, c’est-à-dire un débit. L’évolution du stock d’eau dans le système est
exprimé par :
( )
( )
dS
dt
Q t Q t
in
out
=
−
(12)
Bien que l’hydrogramme d’entrée soit connu, l’équation ne peut pas être résolue directement
car l’évolution du stock et l’hydrogramme de sortie sont tous les deux inconnus. Une autre
équation appelée fonction de stockage est donc nécessaire. D’une manière générale, elle est
fonction de l’entrée et de la sortie :
S
Q
dQ
dt
d Q
dt
Q
dQ
dt
d Q
dt
in
in
in
out
out
out
=
,
,
,...,
,
,
,...
2
2
(13)
Laminage des crues par un réservoir
En système discret, les données sont représentées par des mesures échantillonnées à des pas de
temps discrets. Le débit d’entrée au début et à la fin du j
ème intervalle de temps de durée ∆t sont
respectivement Q in (j∆t) et Q in ((j+1) ∆t). Les valeurs correspondantes pour l’hydrogramme de
sortie sont Q out (j∆t) et Q out ((j+1) ∆t).
Si la variation de l’hydrogramme d’entrée et de sortie durant l’intervalle de temps ∆t est
approximativement linéaire, la variation de stock est exprimée par :
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
S
S
Q j t Q j
t
t
Q j t Q
j
t
t
j
j
in
in
out
out
+ − =
+
+
−
+
+
1
1
2
1
2
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
(14)
Dans cette équation, sont connus Q in (j∆t), Q in ((j+1)∆t), S j et Q out (j∆t) et sont inconnus S j+1 et
Q out ((j+1)∆t) que l’on isole par :
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Pour une pluie ruisselée de durée ∆t et d’intensité I E , le ruissellement Q E (k,t) correspondant à
chaque zone isochrone k au moment t est :
( )
( )
Q k t
A I t
E
k E
, =
(10)
Pour une lame ruisselée de durée quelconque m∆t, le débit de ruissellement à l’exutoire à l’instant
t est constitué de la somme des ruissellements :
• de la 1
ère zone isochrone A 1 à l’instant t, c’est-à-dire A 1 I E (t),
• de la 2
ème zone isochrone A 2 à l’instant précédent t-∆t, c’est-à-dire A 2 I E (t),
• de la k
ème zone isochrone A k à l’instant t-(k-1) ∆t, c’est-à-dire A k I E (t-k+1),
• et ainsi de suite jusqu'à la n Iso
ème zone isochrone n Iso tant que chaque temps récursif
t-(k-1) ∆t est supérieur à 0, pour k variant de 1 à n Iso .
( )
(
)
Q t
A I t k
E
k E
k
n Iso
=
− +
=
∑
1
1
pour (t - k + 1) > 0
(11)
Le principe de l’isochronisme ne concerne que la fonction de transfert.
Transfert d’ondes de crue amont
La relation débits amont-débit à l’exutoire est traitée par transfert d’ondes de crue. Il s’agit de la
résolution de l’équation de continuité du système hydrologique dont l’entrée Q in (t) et la sortie
Q out (t) sont de même nature, c’est-à-dire un débit. L’évolution du stock d’eau dans le système est
exprimé par :
( )
( )
dS
dt
Q t Q t
in
out
=
−
(12)
Bien que l’hydrogramme d’entrée soit connu, l’équation ne peut pas être résolue directement
car l’évolution du stock et l’hydrogramme de sortie sont tous les deux inconnus. Une autre
équation appelée fonction de stockage est donc nécessaire. D’une manière générale, elle est
fonction de l’entrée et de la sortie :
S
Q
dQ
dt
d Q
dt
Q
dQ
dt
d Q
dt
in
in
in
out
out
out
=
,
,
,...,
,
,
,...
2
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(13)
Laminage des crues par un réservoir
En système discret, les données sont représentées par des mesures échantillonnées à des pas de
temps discrets. Le débit d’entrée au début et à la fin du j
ème intervalle de temps de durée ∆t sont
respectivement Q in (j∆t) et Q in ((j+1) ∆t). Les valeurs correspondantes pour l’hydrogramme de
sortie sont Q out (j∆t) et Q out ((j+1) ∆t).
Si la variation de l’hydrogramme d’entrée et de sortie durant l’intervalle de temps ∆t est
approximativement linéaire, la variation de stock est exprimée par :
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
S
S
Q j t Q j
t
t
Q j t Q
j
t
t
j
j
in
in
out
out
+ − =
+
+
−
+
+
1
1
2
1
2
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
(14)
Dans cette équation, sont connus Q in (j∆t), Q in ((j+1)∆t), S j et Q out (j∆t) et sont inconnus S j+1 et
Q out ((j+1)∆t) que l’on isole par :