Session 3 : Télédétection et prévision des crues : l’exemple du fleuve Gambie
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∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
B
X
B
X
B
H
H
X
H
X
=
+
(8)
Il vient, en dérivant (1) par rapport à X , en tenant compte des relations 2 à 8 et en
remplaçant dans [II] la relation (9) ci-dessous:
( )
( )
∂
∂
∂
∂
H
X C H
H
X
g H
+
=
1
(9)
par :
( )
(
)
C H
k I
s
B
m
m
S
B
B
H
m
H
=
+ −
1
2
∂
∂
(10)
( )
( )
( )
( )
( )
g H
q k I
S
B
Ln I
X
Ln k
X
k I
S
B
m
S
X
m
S
B
B
X
k I
S
B
m
S
X
m
S
B
B
H
m
m
m
H
H
m
X
=
−
+
−
+
−
+
−
+1 1
2
1
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(11)
En utilisant la méthode des caractéristiques, et en posant H=H(X,T), on a:
∂
∂
∂
∂
H
X
H
T
dT
dX
dH
dX
+
=
(12)
En identifiant (9) et (12), on obtient après arrangement:
( )
dT
dX C H
=
1
(13)
( )
dH
dX
g H
=
(14)
En intégrant les équations différentielles ci-dessus on obtient:
( )
T
T
dX
C H
X
X
1
0
0
1
=
+ ∫
équation horaire
(15)
(
)
(
)
( )
H X T
H X T
g H dX
X
X
1
1
0
0
0
1
,
,
=
+ ∫
équation de compatibilité
(16)
L’intégration est théoriquement possible, si les expressions analytiques des fontions C(H) et
g(H) sont connues, ou si on peut les déterminer de façon empirique. Mais ceci va être difficile
puisque ces fonctions font intervenir les caractéristiques hydrauliques k(X), I(X), m et
géométriques S(H,X),B(H,X),H(X,T) de la section. Ces caractéristiques varient d’un bief à un
autre, et au cours de la crue. Nous allons contourner cet inconvénient en utilisant une approche
stochastique basée sur des échantillons de niveaux journaliers de grandes tailles, comportant de
nombreuses années d’observation. Nous allons choisir à la station amont une tranche de hauteurs
comprises dans l’intervalle (H, H+∆H), observées à des instants i. A ces hauteurs on va faire
correspondre des hauteurs à la station aval observées à des instants i+t. Pour chaque valeur de t
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B
X
B
X
B
H
H
X
H
X
=
+
(8)
Il vient, en dérivant (1) par rapport à X , en tenant compte des relations 2 à 8 et en
remplaçant dans [II] la relation (9) ci-dessous:
( )
( )
∂
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H
X C H
H
X
g H
+
=
1
(9)
par :
( )
(
)
C H
k I
s
B
m
m
S
B
B
H
m
H
=
+ −
1
2
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(10)
( )
( )
( )
( )
( )
g H
q k I
S
B
Ln I
X
Ln k
X
k I
S
B
m
S
X
m
S
B
B
X
k I
S
B
m
S
X
m
S
B
B
H
m
m
m
H
H
m
X
=
−
+
−
+
−
+
−
+1 1
2
1
1
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(11)
En utilisant la méthode des caractéristiques, et en posant H=H(X,T), on a:
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H
X
H
T
dT
dX
dH
dX
+
=
(12)
En identifiant (9) et (12), on obtient après arrangement:
( )
dT
dX C H
=
1
(13)
( )
dH
dX
g H
=
(14)
En intégrant les équations différentielles ci-dessus on obtient:
( )
T
T
dX
C H
X
X
1
0
0
1
=
+ ∫
équation horaire
(15)
(
)
(
)
( )
H X T
H X T
g H dX
X
X
1
1
0
0
0
1
,
,
=
+ ∫
équation de compatibilité
(16)
L’intégration est théoriquement possible, si les expressions analytiques des fontions C(H) et
g(H) sont connues, ou si on peut les déterminer de façon empirique. Mais ceci va être difficile
puisque ces fonctions font intervenir les caractéristiques hydrauliques k(X), I(X), m et
géométriques S(H,X),B(H,X),H(X,T) de la section. Ces caractéristiques varient d’un bief à un
autre, et au cours de la crue. Nous allons contourner cet inconvénient en utilisant une approche
stochastique basée sur des échantillons de niveaux journaliers de grandes tailles, comportant de
nombreuses années d’observation. Nous allons choisir à la station amont une tranche de hauteurs
comprises dans l’intervalle (H, H+∆H), observées à des instants i. A ces hauteurs on va faire
correspondre des hauteurs à la station aval observées à des instants i+t. Pour chaque valeur de t