11 – LES RÉACTIONS RAPIDES
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L'une de ces trois équations est redondante, puisque leur somme est simplement la
dérivée première de l'équation de conservation (équation [11.12]) :
dX
dt
dX
dt
dX
dt
[]
[]
[]
012
0
++
=
[11.16]
Pour résoudre le système, nous pouvons donc considérer qu'il est défini par les
équations [11.12] à [11.14] en ignorant l'équation [11.15].
La solution d'un ensemble de trois équations différentielles de trois concentrations
inconnues peut être résolue simplement en éliminant deux des concentrations pour
produire une seule équation différentielle à une inconnue. Premièrement, [] X 2
peut être éliminée en utilisant l'équation [11.12] pour l'exprimer en terme des deux
autres concentrations :
[][
] [] []
XXX
X
Tot
20
1
=−
−
[11.17]
et en substituant cette équation dans l'équation [11.14], nous obtenons :
dX
dt
kX
k
k
X
k
X
X
X
kk
X
k
k k
X
k
X
Tot
Tot
[]
[
](
) [ ]
( [
][
][ ] )
() [
] (
) [ ]
[
]
1
10
12
1
2
0
1
12
0
1
22
1
2
=−
+
+
−
−
=−
−+ +
+
−−
−−
−
−
[11.18]
La différentiation de l'équation [11.13] fournit :
dX
dt
k
dX
dt
k
dX
dt
k
dX
dt
kkk
X
kk
k k
X
k k
X Tot
2
0
2
1
0
1
1
1
0
11
2
0
112
2
1
1 2
[]
[]
[]
[]
() [
]
() [ ]
[
]
=−
+
=−
+
−
−+ +
+
−
−−
−−
−
− −
[11.19]
Ensuite [] X 1 est éliminé en réarrangeant l'équation [11.13] de manière à obtenir
une expression de kX −11 [] en terme de [] X 0 :
kX
k X
dX
dt
−
=+
11
10
0
[]
[
]
[]
[11.20]
qui peut être substituée dans l'équation [11.19] :
dX
dt
k
dX
dt
kkk
X
kkk
k X
dX
dt
kk
X Tot
2
0
2
1
0
11
2
0
12
2
10
0
12
[]
[]
() [
]
() [
]
[]
[]
=−
+
−
−+ +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−−
−−
− −
[11.21]
Si celle-ci est réorganisée de la manière suivante :
dX
dt
kk
k k
dX
dt
k k
kk kk
X
k k
X Tot
2
0
2
11
2
2
0
12
1 2
12
0
12
[] ()
[]
() [
]
[
]
+++ +
++
+
=
−−
−−
−
−−
[11.22]