3 – INTRODUCTION À LA CINÉTIQUE ENZYMATIQUE - RÉACTIONS À UN SUBSTRAT ET UN PRODUIT
109
en utilisant la relation stœchiométrique [][][] AP
A
+=
0 . Nous obtenons alors
l’équation suivante :
dP
dt
VA
P
KAP m
[]
([ ] – [ ])
([ ] – [ ])
=
+
0
0
[3.107]
qui peut être intégrée en ségréguant les deux variables dans les deux parties de
l’équation :
([ ] – [ ] ) [ ]
[] – []
KA
P d P
AP
Vdt
m +
⌠
⌡
⎮
= ∫
0
0
[3.108]
La partie gauche de cette équation n’est pas immédiatement assimilable à une
intégrale simple, mais en la séparant en deux termes, nous obtenons :
KdP
AP
+ d[P]
Vdt
m []
[] – []
0
⌠
⌡
⎮
=
∫∫
[3.109]
desquels le premier a une forme standard que nous avons déjà utilisée à plusieurs
reprises dans ce manuel (par exemple dans le § 1.2) :
KdP
AP
KAP
m
m
[]
[] – []
([ ] – [ ])
0
0
⌠
⌡
⎮
=−
ln
[3.110]
et le second est trivial. Nous obtenons alors la forme intégrée suivante :
–( [ ] – [ ] ) [ ]
KAPP
V t
m ln
0
+=
+ a
[3.111]
où a est une constante d’intégration qui peut être évaluée dans la condition limite
de [] P = 0 quand t = 0, c'est-à-dire que a = –[ ]
KA m ln
0 . En substituant cette
valeur de a dans l’équation [3.111] et en réarrangeant, nous obtenons :
Vt
P
K
A
AP
m
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
[]
[]
[] - []
ln
0
0
[3.112]
3.8.2. Inhibition par le produit
Bien que l’équation [3.112] soit une forme intégrée de l’équation de MICHAELIS et
MENTEN (équation [3.106]), l’utilisation pratique de cette équation peut générer
des erreurs importantes sur les valeurs des paramètres cinétiques, si certaines
précautions ne sont pas prises. En effet, puisqu’il ne s’agit pas de mesures réalisées
dans des conditions de vitesse initiale, l’inhibition par le produit ne peut plus être
négligée, puisque, quelle que soit la concentration initiale du produit, celui-ci
s’accumule au cours de la réaction. Dans le cas le plus simple, nous devons
remplacer l’équation [3.107] par l’équation qui tient compte d’une possible
inhibition compétitive par le produit P qui est caractérisée par la constante
d’inhibition K P :
dP
dt
VA
P
K
P
K
AP
m
P
[]
([ ] – [ ])
[] [] – []
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
0
0
1
[3.113]
109
en utilisant la relation stœchiométrique [][][] AP
A
+=
0 . Nous obtenons alors
l’équation suivante :
dP
dt
VA
P
KAP m
[]
([ ] – [ ])
([ ] – [ ])
=
+
0
0
[3.107]
qui peut être intégrée en ségréguant les deux variables dans les deux parties de
l’équation :
([ ] – [ ] ) [ ]
[] – []
KA
P d P
AP
Vdt
m +
⌠
⌡
⎮
= ∫
0
0
[3.108]
La partie gauche de cette équation n’est pas immédiatement assimilable à une
intégrale simple, mais en la séparant en deux termes, nous obtenons :
KdP
AP
+ d[P]
Vdt
m []
[] – []
0
⌠
⌡
⎮
=
∫∫
[3.109]
desquels le premier a une forme standard que nous avons déjà utilisée à plusieurs
reprises dans ce manuel (par exemple dans le § 1.2) :
KdP
AP
KAP
m
m
[]
[] – []
([ ] – [ ])
0
0
⌠
⌡
⎮
=−
ln
[3.110]
et le second est trivial. Nous obtenons alors la forme intégrée suivante :
–( [ ] – [ ] ) [ ]
KAPP
V t
m ln
0
+=
+ a
[3.111]
où a est une constante d’intégration qui peut être évaluée dans la condition limite
de [] P = 0 quand t = 0, c'est-à-dire que a = –[ ]
KA m ln
0 . En substituant cette
valeur de a dans l’équation [3.111] et en réarrangeant, nous obtenons :
Vt
P
K
A
AP
m
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
[]
[]
[] - []
ln
0
0
[3.112]
3.8.2. Inhibition par le produit
Bien que l’équation [3.112] soit une forme intégrée de l’équation de MICHAELIS et
MENTEN (équation [3.106]), l’utilisation pratique de cette équation peut générer
des erreurs importantes sur les valeurs des paramètres cinétiques, si certaines
précautions ne sont pas prises. En effet, puisqu’il ne s’agit pas de mesures réalisées
dans des conditions de vitesse initiale, l’inhibition par le produit ne peut plus être
négligée, puisque, quelle que soit la concentration initiale du produit, celui-ci
s’accumule au cours de la réaction. Dans le cas le plus simple, nous devons
remplacer l’équation [3.107] par l’équation qui tient compte d’une possible
inhibition compétitive par le produit P qui est caractérisée par la constante
d’inhibition K P :
dP
dt
VA
P
K
P
K
AP
m
P
[]
([ ] – [ ])
[] [] – []
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
0
0
1
[3.113]