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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
S o l u t i o n
• Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
L'équation homogène associée a pour équation caractéristique :
r
2
+ 4r + 4 = 0 = (r + 2)
2 .
Sa solution générale est donc :
(K 1 x + K 2 ) e
−2x
avec (K 1 ,K 2 ) ∈ R
2 .
• Introduisons une nouvelle fonction inconnue z telle que y = ze
−2x soit solution de
l'équation donnée (1). On calcule :
y
= z
e
−2x
− 2ze
−2x
; y
= z
e
−2x
− 4z
e
−2x
+ 4z e
−2x .
En substituant et en simplifiant, il reste :
z
=
1
1 + x 2 ·
Vous remarquez la disparition de z et de z
qui correspond au fait que −2 est racine
double de l'équation caractéristique.
On en déduit z
= arctan x + a , puis avec une intégration par parties :
z = x arctan x −
1
2
ln(1 + x
2
) + ax + b ,
et enfin la solution générale de (1) :
y =
x arctan x −
1
2
ln(1 + x
2
) + ax + b
e
−2x
avec (a,b) ∈ R
2 .
A p p l i c a t i o n
Résolvez l'équation différentielle :
xy
+ 2y
+ xy = 0
(1)
sur un intervalle I ne contenant pas 0
S o l u t i o n
L'équation étant linéaire et homogène, sur un intervalle où le coefficient de y
ne s'annule pas, les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2. Mais attention à ne
pas introduire une équation caractéristique car les coefficients ne sont pas constants.