S o l u t i o n
• Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
Son équation caractéristique :
r
2
− 2r + 5 = 0
a deux racines complexes conjuguées r 1 = 1 + 2i et r 2 = 1 − 2i.
Sa solution générale est donc :
y = e
x
K 1 cos 2x + K 2 sin 2x
avec (K 1 ,K 2 ) ∈ R
2 .
• L'équation différentielle
y
− 2y
+ 5y = 5x + 3 (E 1 )
a une solution particulière de la forme ax + b . Par identification on obtient
y 1 = x + 1 .
• L'équation différentielle
y
− 2y
+ 5y = x e
x cos 2x (E 2 )
est la partie réelle de
Y
− 2Y
+ 5Y = x e
(1+2i) x
Posons Y = e
(1+2i) x Z. La fonction Y est solution de l'équation ci-dessus si, et seulement si, Z vérifie Z
+ 4iZ
= x.
Cette équation a une solution particulière de la forme Z (x) = ax
2
+ bx.
Par identification, on obtient Z (x) = −
i
8
x
2
+
1
16
x.
On en déduit une solution particulière de (E 2 ) :
y 2 = Re
−
i
8
x
2
+
1
16
x
e
(1+2i) x
= e
x
x
16
cos 2x +
x
2
8
sin 2x
.
• L'équation différentielle (1) admet pour solution particulière y 1 + y 2 . Sa solution
générale est donc :
y = e
x
K 1 cos 2x + K 2 sin 2x
+ x + 1 + e
x
x
16
cos 2x +
x
2
8
sin 2x
.
A p p l i c a t i o n
Résolvez l'équation différentielle :
y
+ 4y
+ 4y =
e
−2x
1 + x 2
(1)
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F I C H E 1 7 – É q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s d u s e c o n d o r d r e
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