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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Sa solution générale est donc définie par :
x(t) = K 1 e
−2t
+ K 2 e
7t avec (K 1 ,K 2 ) ∈ R
2 .
• Pour la recherche d'une solution particulière de (1), considérons la nouvelle fonction
inconnue z telle que x = z e
t soit solution de (1).
On a x
= z
e
t
+ z e
t et x
= z
e
t
+ 2z
e
t
+ z e
t .
x est solution de (1) si, et seulement si, z vérifie :
z
− 3z
− 18z = 3t
2
+ 2t − 1 .
Le coefficient de z n'est pas nul car 1 n'est pas racine de l'équation caractéristique.
Dans ce cas, nous savons qu'il existe une solution particulière sous la forme :
z = at
2
+ bt + c.
On a alors :
z
= 2at + b et z
= 2a .
On a donc après simplification :
∀t
− 18at
2
− (18b + 6a) t + (2a − 3b − 18c) = 3t
2
+ 2t − 1 ,
soit :



−18a =
3
−6a − 18b =
2
2a − 3b − 18c = −1
⇐⇒

     
     
a = −
1
6
b = −
1
18
c =
5
108
On obtient une solution particulière :
z = −
1
6
t
2
−
1
18
t +
5
108
, puis y =
−
1
6
t
2
−
1
18
t +
5
108
e
t .
• La solution générale de (1) est donc définie par :
y(t) = K 1 e
−2t
+ K 2 e
7t
+
−
1
6
t
2
−
1
18
t +
5
108
e
t avec (K 1 ,K 2 ) ∈ R
2 .
A p p l i c a t i o n
Résolvez l'équation différentielle :
y
− 2y
+ 5y = x e
x cos 2x + 5x + 3
(1).