A p p l i c a t i o n
Résolvez l'équation différentielle :
y
− 2y
+ 10y = 0
(1)
avec les conditions initiales y(0) = 1 et y
(0) = 2.
S o l u t i o n
L'équation différentielle est linéaire du second ordre, à coefficients constants, et sans
second membre. Son équation caractéristique :
r
2
− 2r + 10 = 0
admet deux racines complexes conjuguées r 1 = 1 + 3i et r 2 = 1 − 3i. Sa solution
générale est donc :
y(x) = e
x
A cos 3x + B sin 3x
.
On a alors :
y
(x) = e
x
(A + 3B) cos 3x + (B − 3A) sin 3x
.
Les conditions initiales fournissent le système :
y(0) =
A
= 1
y
(0) = A + 3B = 2
⇐⇒
A = 1
B =
1
3
La solution de (1) qui vérifie les conditions initiales est donc :
y(x) = e
x
cos 3x +
1
3
sin 3x
.
A p p l i c a t i o n
Résolvez l'équation différentielle :
x
− 5x
− 14x = (3t
2
+ 2t − 1) e
t
(1)
S o l u t i o n
• Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants. Son équation caractéristique :
r
2
− 5r − 14 = 0
a deux racines réelles distinctes r 1 = −2 et r 2 = 7.
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F I C H E 1 7 – É q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s d u s e c o n d o r d r e
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