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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
– Cas où f (t) = e
αt cos βt P(t) ou f (t) = e
αt sin βt P(t) avec α et β réels, et P
polynôme à coefficients réels
Une solution particulière est la partie réelle, ou la partie imaginaire, de la solution
particulière obtenue pour l'équation de second membre e
(α+iβ) t P(t).
III Méthodes générales
• Variation de la constante
Si x 1 est une solution de (2), ne s'annulant pas sur I , on peut chercher les solutions
de (1) sous la forme :
x(t) = u(t) x 1 (t)
où u est une fonction inconnue (de classe C
1 ) qui vérifie l'équation différentielle
linéaire du premier ordre en u
obtenue en reportant dans (1).
• Système fondamental de solutions
Si x 1 et x 2 sont deux solutions linéairement indépendantes de (2), on peut chercher
la solution de (1) sous la forme :
x(t) = u(t) x 1 (t) + v(t) x 2 (t)
où u et v sont des fonctions inconnues (de classe C
1 ) soumises à la condition :
u
(t) x 1 (t) + v
(t) x 2 (t) = 0 .
Les fonctions u et v sont obtenues en résolvant le système :
u
x 1 + v
x 2 = 0
u
x
1 + v
x
2 = f
dont le déterminant
w(t) =
x 1 (t) x 2 (t)
x
1 (t) x
2 (t)
appelé wronskien de x 1 et x 2 , ne s'annule pas sur I lorsque x 1 et x 2 sont linéairement indépendantes. On obtient :
u
(t) = −
x 2 (t) f (t)
w(t)
et v
(t) =
x 1 (t) f (t)
w(t)
·
• Utilisation de séries entières
On peut chercher des solutions sous la forme d'une série entière.
Cette méthode peut être envisagée quand a(t) et b(t) sont des polynômes simples.
N'oubliez pas de vérifier que la (ou les) série entière obtenue a un rayon de convergence
non nul.