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F I C H E 1 7 – É q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s d u s e c o n d o r d r e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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II Cas des coefficients constants
• Résolution de l'équation homogène
La fonction t → e
rt est solution de (2) si, et seulement si, r vérifie l'équation caractéristique :
ar
2
+ br + c = 0,
ce qui conduit à calculer = b
2
− 4ac.
– Si = / 0, l'équation caractéristique a deux racines distinctes r 1 et r 2 . On a alors :
x S (t) = K 1 e
r 1 t
+ K 2 e
r 2 t ,
où K 1 et K 2 sont des constantes quelconques.
– Si = 0, l'équation caractéristique a une racine double r 0 . On a alors :
x S (t) = (K 1 t + K 2 ) e
r 0 t ,
où K 1 et K 2 sont des constantes quelconques.
– Si a,b et c sont réels et si < 0, l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées α±iβ. On a alors :
x S (t) = e
αt
(K 1 cos βt + K 2 sin βt),
où K 1 et K 2 sont des constantes réelles quelconques.
En physique, on utilise la forme :
K 1 cos β t + K 2 sin β t = A cos ( β t−ϕ)
avec A =
K
2
1 + K
2
2 , cos ϕ =
K 1
A
et sin ϕ =
K 2
A
·
• Résolution de (1) dans quelques cas
– Cas où f (t) est un polynôme P(t) de degré n
Il existe une solution particulière de (1) sous la forme d'un polynôme de degré
n si c = / 0 ;
n + 1 si c = 0 et b = / 0 ;
n + 2 si c = b = 0 et a = / 0.
La recherche de cette solution se fait par identification.
– Cas où f (t) = e
kt P(t) avec P polynôme et k constante
On effectue le changement de fonction inconnue
x(t) = e
kt z(t)
où z est une nouvelle fonction inconnue. En reportant x, x
et x
dans (1), on est
conduit à une équation en z du type précédent.