92
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Équations
différentielles linéaires
du second ordre
I Généralités
• Définition
Une équation différentielle linéaire du second ordre est de la forme :
a(t) x
(t) + b(t) x
(t) + c(t) x(t) = f (t)
(1)
où a, b, c et f sont des fonctions continues données. Pour la résolution, on se place
sur un intervalle I tel que la fonction a ne s'annule pas sur I .
L'équation est dite à coefficients constants si elle est de la forme :
a x
(t) + b x
(t) + c x(t) = f (t)
(1)
où a, b et c sont des constantes données.
• Théorèmes dus à la linéarité
– Toute solution de (1) est de la forme x P + x S où x P est une solution particulière
de (1) et x S la solution générale de l'équation homogène associée :
a(t) x
(t) + b(t) x
(t) + c(t) x(t) = 0
(2)
– Les solutions de (2) sur I forment un espace vectoriel de dimension 2.
– Si x 1 est une solution particulière de
a(t) x
(t) + b(t) x
(t) + c(t) x(t) = f 1 (t)
et x 2 une solution particulière de
a(t) x
(t) + b(t) x
(t) + c(t) x(t) = f 2 (t)
alors x 1 + x 2 est une solution particulière de
a(t) x
(t) + b(t) x
(t) + c(t) x(t) = f 1 (t) + f 2 (t)
FICHE 17