• Résolution de l'équation homogène associée
x y
(x) − y(x) = 0
(2)
y = 0 est solution et on sait que les autres solutions ne s'annulent pas sur I .
On peut donc écrire :
y
(x)
y(x)
=
1
x
soit ln|y(x)| = ln|x| + C, ce qui conduit à la solution générale de (2) sur I :
x → y(x) = K x avec K ∈ R.
• Résolution de (1) par la méthode de variation de la constante
Considérons une nouvelle fonction inconnue z telle que y(x) = z(x) x soit solution de
(1).
On calcule y
(x) = z
(x) x + z(x), on reporte dans (1) et on obtient :
z
(x) =
2x + 1
x 2 (x 2 + 1)
·
Pour pouvoir calculer z , décomposons la fraction rationnelle en éléments simples :
2x + 1
x 2 (x 2 + 1)
=
1
x 2 +
2
x
+
−2x − 1
x 2 + 1
·
On en déduit :
z(x) = −
1
x
+ 2 ln|x| − ln (x
2
+ 1) − arctan x + K .
La solution générale de (1) sur I est donc définie par :
y(x) = −1 + 2x ln|x| − x ln (x
2
+ 1) − x arctan x + K x .
2. La fonction définie sur R avec un prolongement par continuité en 0 par :

 
 
y(x) = −1 + 2xln |x| − xln (x
2
+ 1) − x arctan x + K 1 x
si x < 0
y(0) = −1
y(x) = −1 + 2xln |x| − x ln (x
2
+ 1) − x arctan x + K 2 x
si x > 0
sera un prolongement de solution de (1) si elle est dérivable en 0.
On a lim
x→0
x>0
y(x) − y(0)
x
= K 2 + lim
x→0
x>0
2 ln x = −∞
Il n'existe donc aucune solution de (1) définie sur R.
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F I C H E 1 6 – É q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s d u p r e m i e r o r d r e
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