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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Résolvez l'équation différentielle :
(t + 1) x
(t) + x(t) = (t + 1) sin t
(1)
sur des intervalles à préciser.
S o l u t i o n
L'équation différentielle (1) est linéaire du premier ordre. On la résout sur un intervalle
où le coefficient de x
n'est pas nul, soit sur I 1 =] − ∞,−1[ ou sur I 2 =] − 1,+∞[.
Sur chaque intervalle I 1 ou I 2 , l'équation s'écrit :
(t + 1) x
(t) + x(t) =
(t + 1) x(t)
= (t + 1) sin t .
On a donc :
(t + 1) x(t) =
(t + 1) sin t dt .
En intégrant par parties, on obtient (attention, la constante dépend de l'intervalle) sur
chaque intervalle :
(t + 1) sin t dt = − (t + 1) cos t + sin t + K .
La solution générale de (1) sur I 1 , ou sur I 2 , est donc :
x(t) = − cos t +
K + sin t
t + 1
avec K ∈ R.
A p p l i c a t i o n
1. Résolvez l'équation différentielle :
x y
(x) − y(x) =
2x + 1
x 2 + 1
(1).
2. Existe-t-il des solutions définies sur R ?
S o l u t i o n
1. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. On cherche sa solution générale sur I 1 =] − ∞,0 [ ou sur I 2 =] 0,+∞ [ .