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F I C H E 1 6 – É q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s d u p r e m i e r o r d r e
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• Théorème dû à la linéarité
Toute solution de (1) est de la forme x P + x S où x P est une solution particulière
de (1) et x S la solution générale de l'équation homogène associée :
a(t) x
(t) + b(t) x(t) = 0
(2)
On est donc conduit à deux problèmes : rechercher la solution générale x S de
l'équation homogène, puis une solution particulière x P de l'équation complète.
• Résolution de l'équation homogène associée
C'est une équation à variables séparables. Ses solutions sont du type :
x S (t) = K e
−A(t) où A(t) =
t
t 0
a(u) du
avec K constante arbitraire et t 0 élément quelconque de I . Elles comportent donc
la fonction nulle et des fonctions qui ne s'annulent jamais.
• Recherche d'une solution particulière (méthode de Lagrange)
x 1 étant une solution non nulle de (2), on introduit une fonction auxiliaire inconnue K (t) telle que x(t) = K (t) x 1 (t) soit solution de (1).
On calcule x
(t) ; on reporte x
(t) et x(t) dans (1).
On observe que K (t) disparaît, ce qui fournit une auto-vérification. Il reste K
(t),
ce qui permet de calculer K (t) puis x(t).
Vous avez le choix entre deux variantes (équivalentes : ne faites pas les deux) :
– chercher tous les K (t) avec une constante d'intégration (n'oubliez pas de reporter dans x(t)),
– chercher un K (t), reporter dans x(t) et additionner avec x S (t).
Cette méthode s'appelle aussi la méthode de variation de la constante. Ce mot curieux
(une constante qui varie !) vient du fait qu'on remplace la constante K obtenue en résolvant l'équation homogène par une fonction K (t).