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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Équations
différentielles
du premier ordre
I Équations à variables séparables
Lorsque l'équation est de la forme :
f (x(t)) x
(t) = g(t),
où f et g sont des fonctions données dont on connaît des primitives F et G, on a :
F (x(t)) = G(t) + C où C ∈ R,
et si F possède une fonction réciproque F
−1 , on en tire :
x(t) = F
−1
G(t) + C
,
relation qui donne toutes les solutions de l'équation.
Cette solution générale dépend de la constante d'intégration C.
En pratique, on peut écrire l'équation sous la forme : f (x) dx = g(t) dt ,
puis intégrer formellement les deux membres :
f (x) dx =
g(t) dt ,
et exprimer x en fonction de t .
II Équations linéaires
• Définition
Elles sont de la forme :
a(t) x
(t) + b(t) x(t) = c(t)
(1)
où a, b et c sont des fonctions données, continues sur un intervalle I ⊂ R.
Pour la résolution, on se place sur un intervalle J ⊂ I tel que la fonction a ne s'annule pas sur J.
FICHE 16