A p p l i c a t i o n
Montrez que l'intégrale
+∞
0
sin x
x
dx converge, mais qu'elle n'est pas absolument
convergente.
S o l u t i o n
• Pour la borne 0, il n'y a pas de problème d'existence puisque la fonction à intégrer
est prolongeable par continuité.
On peut donc se ramener à l'étude de la convergence de
∞
1
sin x
x
dx .
En intégrant par parties, on obtient :
X
1
sin x
x
dx =
− cos x
x
X
1
−
X
1
cos x
x 2 dx .
Lorsque X tend vers +∞ ,
− cos X
X
tend vers 0 puisque c'est le produit d'une fonction
bornée et d'une fonction qui tend vers 0.
D'autre part, lim
X→+∞
X
1
cos x
x 2 dx existe puisque, de
cos x
x 2
1
x 2 on tire la convergence absolue, donc la convergence, de
+∞
1
cos x
x 2 dx .
• L'inégalité | sin x| sin
2 x =
1 − cos 2x
2
entraîne :
+∞
1
| sin x|
x
dx
+∞
1
dx
2x
−
+∞
1
cos 2x
2x
dx .
L'intégrale
+∞
1
dx
2x
diverge vers +∞ .
L'intégrale
+∞
1
cos 2x
2x
dx converge, ce qui se démontre comme pour l'intégrale en
sinus.
L'intégrale
+∞
1
| sin x|
x
dx est donc divergente, ce qui prouve que l'intégrale proposée n'est pas absolument convergente.
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F I C H E 1 5 – I n t é g r a l e s g é n é r a l i s é e s
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