Au voisinage de a, on a f (x) ∼
a
K
1
√
a − x
avec K =
1
√
1 + a 2
√
2a
·
Comme l'intégrale de Riemann
a
0
dx
√
a − x
=
a
0
du
√
u
existe, il en est de même pour
a
0
f (x)dx .
Au voisinage de −a, la démonstration est analogue.
Finalement, pour a > 0, on a démontré l'existence de l'intégrale :
I (a) =
a
−a
dx
(1 + x 2 ) (a 2 − x 2 )
.
• Calcul
Avec 0 < b < a, considérons l'intégrale I (b) =
b
−b
dx
(1 + x 2 ) (a 2 − x 2 )
et utilisons le changement de variable x = at qui conduit à :
I (b) =
b
a
− b
a
dt
√
1 − t 2
√
1 + a 2 t 2
·
Lorsque t varie de −
b
a
à
b
a
alors
√
1 + a 2 t 2 est compris entre 1 et
√
1 + b 2 .
On en déduit un encadrement de I (b) :
1
√
1 + b 2
b
a
− b
a
dt
√
1 − t 2
I (a)
b
a
− b
a
dt
√
1 − t 2
qui donne :
2
√
1+b 2
arcsin
b
a
I (b) 2 arcsin
b
a
,
puis en faisant tendre b vers a :
1
√
1 + a 2
π I (a) π .
Lorsque a tend vers 0, les deux fonctions de a qui encadrent I (a) ont la même limite
π. Par conséquent :
lim
a→0
I (a) = π .
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