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F I C H E 1 5 – I n t é g r a l e s g é n é r a l i s é e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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5
A p p l i c a t i o n
Étudiez la nature de :
+∞
0
3
√
x + 1 −
3
√
x
√
x
dx .
S o l u t i o n
La fonction x → f (x) =
3
√
x + 1 −
3
√
x
√
x
est continue et positive sur ]0,+∞[.
– Au voisinage de 0, on a f (x) ∼
0
1
√
x
· Comme l'intégrale de Riemann
1
0
dx
√
x
existe, il en est de même de
1
0
f (x)dx .
– Au voisinage de +∞ , on a :
f (x) =
3
√
x
√
x
3
1 +
1
x
− 1
= x
1
3
− 1
2
1
3x
+ o
1
x
,
ce qui entraîne f (x) ∼
+∞
1
3x 7/6 ·
Comme l'intégrale de Riemann
+∞
1
dx
x 7/6 existe, il en est de même de
+∞
1
f (x) dx .
– Finalement, l'intégrale
+∞
0
f (x)dx est convergente.
A p p l i c a t i o n
Soit a > 0 ; étudiez l'existence, et déterminez éventuellement la valeur, de :
lim
a→0
a
−a
dx
(1 + x 2 ) (a 2 − x 2 )
·
S o l u t i o n
• Existence
La fonction x → f (x) =
1
√
1 + x 2 √
a − x
√
a + x
est continue et positive sur
] − a,a[ . Elle tend vers l'infini aux bornes.