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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
• Équivalence de fonctions positives
Soit f et g deux fonctions positives.
Si f (x) ∼
+∞
g(x), alors les intégrales
+∞
a
f (t) dt et
+∞
a
g(t) dt sont de même
nature (c'est-à-dire qu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux
divergentes).
Si f (x) ∼
a
g(x), alors les intégrales
b
a
f (t) dt et
b
a
g(t) dt sont de même nature.
Il est important que f et g soient de même signe au voisinage du problème étudié, sinon
les fonctions peuvent être équivalentes et leurs intégrales de nature différente.
• Situations de référence
Pour a > 0, on a :
+∞
a
dt
t α converge ⇐⇒ α > 1 .
Pour a > 0, on a :
a
0
dt
t α converge ⇐⇒ α < 1 .
1
0
ln t dt et
+∞
0
e
−α t dt (où α ∈ R
∗
+ ) sont convergentes.
III Fonctions sommables
• Définition
Soit f une fonction localement intégrable sur [a,+∞[. On dit que f est sommable
sur cet intervalle si
+∞
a
| f (t)| dt converge.
On dit aussi que l'intégrale est absolument convergente.
• Théorème
+∞
a
| f (t)| dt converge ⇒
+∞
a
f (t) dt converge.
Si f est localement intégrable sur ]a,b], on a une définition et un théorème analogue.