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F I C H E 1 5 – I n t é g r a l e s g é n é r a l i s é e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Généralisation
– Si f est localement intégrable sur ]a,b[, on pose
b
a
f (t) dt =
c
a
f (t) dt +
b
c
f (t) dt avec c ∈]a,b[ quelconque
et on dit que
b
a
f (t) dt converge si, et seulement si, les deux intégrales du
second membre convergent.
– Si f est localement intégrable sur ]a,+∞[, on pose
+∞
a
f (t) dt =
b
a
f (t) dt +
+∞
b
f (t) dt avec b ∈]a,+∞[ quelconque
et on dit que l'intégrale
+∞
a
f (t) dt converge si, et seulement si, les deux intégrales du second membre convergent.
– Si f est localement intégrable sur ] − ∞,+∞[, on pose
+∞
−∞
f (t) dt =
b
−∞
f (t) dt +
+∞
b
f (t) dt avec b ∈] − ∞,+∞[ quelconque
et on dit que l'intégrale
+∞
−∞
f (t) dt converge si, et seulement si, les deux intégrales
du second membre convergent.
II Règles de convergence
• Condition nécessaire de convergence sur [a,+∞[
Soit f une fonction localement intégrable sur [a,+∞[. Si l'intégrale
+∞
a
f (t) dt
converge et si lim
x→+∞
f (x) existe, cette limite est nécessairement nulle.
• Comparaison de fonctions positives
Soit f et g localement intégrables et telles que 0 f g sur [a,+∞[.
Si
+∞
a
g(t) dt converge, alors
+∞
a
f (t) dt converge aussi.
Si
+∞
a
f (t) dt diverge, alors
+∞
a
g(t) dt diverge aussi.