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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Intégrales
généralisées
I Définitions et premières propriétés
• Fonction localement intégrable
Soit f définie sur un intervalle I de R. On dit que f est localement intégrable sur I
si elle est intégrable sur tout segment inclus dans I .
• Cas d'une fonction non bornée sur un intervalle borné
Soit f une fonction localement intégrable sur ]a,b] avec a < b. Si la limite
lim
x→a +
b
x
f (t) dt existe, on dit que l'intégrale
b
a
f (t) dt est convergente.
Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale est divergente.
Si f possède une limite à droite en a, il n'y a aucun problème d'existence pour l'intégrale
généralisée.
On définit de manière analogue l'intégrale généralisée
b
a
f (t) dt pour une fonction continue sur [a,b[.
Étudier la nature d'une intégrale généralisée (ou impropre), c'est préciser si elle est
convergente ou divergente.
• Cas d'une fonction définie sur un intervalle non borné
Soit f une fonction localement intégrable sur [a,+∞[.
Si la limite lim
x→+∞
x
a
f (t) dt existe, on dit que l'intégrale
+∞
a
f (t) dt est convergente.
Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale est divergente.
On définit de manière analogue l'intégrale généralisée
a
−∞
f (t) dt pour une fonction continue sur ] − ∞,a].
FICHE 15