A p p l i c a t i o n
Étudiez la fonction f définie par f (x) =
x
2
x + 1
e
1
x lorsque x tend vers −∞ ou vers
+∞ .
Précisez les asymptotes éventuelles et la position de la courbe par rapport aux asymptotes.
S o l u t i o n
On a lim
x→−∞
f (x) = −∞ et lim
x→+∞
f (x) = +∞ .
Lorsque x tend vers ±∞, alors X =
1
x
tend vers 0.
Et rechercher l'existence d'une asymptote revient à rechercher un développement
limité en X de
f (x)
x
·
f (x)
x
=
x
x + 1
e
1
x =
1
1 + X
e
X
=
1 − X + X
2
+ o(X
2
)
1 + X +
X
2
2
+ o(X
2
)
= 1 +
X
2
2
+ o(X
2
)
.
D'où : f (x) = x +
1
2x
+ o
1
x
.
La courbe y = f (x) admet donc la droite y = x pour asymptote à la fois lorsque x
tend vers −∞ et lorsque x tend vers +∞ .
Lorsque x tend vers ±∞, f (x) − x est du signe de
1
2x
· La courbe est donc au-dessous
de l'asymptote lorsque x tend vers −∞ , et au-dessus lorsque x tend vers +∞ .
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F I C H E 1 4 – F o r m u l e s d e Ta y l o r
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