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F I C H E 1 7 – É q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s d u s e c o n d o r d r e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Cherchons des solutions développables en séries entières :
y =
∞
n=0
a n x
n
; y
=
∞
n=1
na n x
n−1 ; y
=
∞
n=2
n(n − 1)a n x
n−2
En reportant dans (1) et en effectuant les changements d'indices nécessaires pour avoir
partout x
n on obtient :
∞
n=1
n(n + 1) a n+1 x
n
+ 2
∞
n=0
(n + 1) a n+1 x
n
+
∞
n=1
a n−1 x
n
= 0 .
Tous les coefficients doivent être nuls, soit :
a 1 = 0 et ∀n ∈ N
∗
(n + 2)(n + 1) a n+1 + a n−1 = 0 .
On en déduit, en distinguant les indices pairs et impairs :
a 2 p+1 = 0 ; a 2 p =
(−1)
p
(2 p + 1)!
a 0
soit y(x) =
∞
p=0
(−1)
p
(2 p + 1)!
a 0 x
2 p
= a 0
sin x
x
avec R = +∞.
On obtient ainsi un espace de dimension 1. Il manque donc des solutions.
• La méthode de variation de la constante consiste à introduire une fonction auxiliaire
u de sorte que y(x) = u(x)
sin x
x
soit solution de (1).
On calcule :
y
(x) = u
(x)
sin x
x
+ u(x)
x cos x − sin x
x 2
y
(x) = u
(x)
sin x
x
+ 2u
(x)
x cos x − sin x
x 2
+ u(x)
−x
2 sin x − 2x cos x + 2 sin x
x 3
En reportant et en simplifiant, il reste :
u
(x) sin x + 2u
(x) cos x = 0
ce qui donne successivement (avec K 1 et K 2 réels quelconques) :
u
(x) =
K 1
sin 2 x
; u(x) = K 1 cot x + K 2
et enfin la solution générale de (1) sur I
y(x) = K 1
cos x
x
+ K 2
sin x
x
·
Pour la fin du calcul, on se place, dans un premier temps, sur un intervalle où sin x ne
s'annnule pas. Puis on constate que la fonction obtenue est C
1 sur tout intervalle ne
contenant pas 0.