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Systèmes
différentiels
I Définitions et notations
Un système de p équations différentielles linéaires du premier ordre et à coefficients
constants est de la forme :
(S)



x
1 (t) = a 11 x 1 (t) + · · · + a 1 p x p (t) + b 1 (t)
. . .
x
p (t) = a p1 x 1 (t) + · · · + a pp x p (t) + b p (t)
où les b i sont des fonctions continues de I dans R.
On suppose que le nombre d'inconnues est égal à celui des équations.
Avec
X (t) =


x 1 (t)
. . .
x p (t)

 ; A =


a 11 . . . a 1 p
. . .
. . .
a p1 . . . a pp

 ; B(t) =


b 1 (t)
. . .
b p (t)


(S) s'écrit sous la forme matricielle :
X
(t) = A X (t) + B(t).
Si B(t) = 0, le système est dit homogène.
II Système homogène
• Structure des solutions
L'ensemble des solutions du système différentiel linéaire homogène
X
(t) = A X (t)
(S
)
est un espace vectoriel de dimension p.
Toute solution de (S) est la somme de la solution générale de (S
) et d'une solution
particulière de (S).
• Cas où A est diagonalisable
Soit A diagonalisable ; notons λ 1 ,. . . ,λ p ses valeurs propres et V 1 ,λ,V p une base
de R
p formée de vecteurs propres associés.
FICHE 18